Наименьшее и наибольшее значение квадратного трёхчлена
1. Что такое квадратный трёхчлен?
2. Выделение полного квадрата
3. Откуда берутся минимум и максимум
4. Разбор примеров
5. Главная ловушка: почему НЕЛЬЗЯ просто «умножить на минус»?

Навык

Минимум и максимум у квадратного трёхчлена

Наименьшее и наибольшее значение квадратного трёхчлена

1. Что такое квадратный трёхчлен?

Квадратный трёхчлен — это алгебраическое выражение вида:

P(x) = ax^2 + bx + c, \quad \text{где } a \neq 0.

Часто возникает вопрос: «Какое наименьшее или наибольшее значение может принимать это выражение?»

Важно понимать: у квадратного трёхчлена может быть либо наименьшее, либо наибольшее значение, но не оба сразу. Какой именно экстремум существует, определяется знаком коэффициента $a$ .

Для нахождения этого значения воспользуемся классическим алгебраическим приёмом — выделением полного квадрата.

2. Выделение полного квадрата

Преобразуем общий вид трёхчлена так, чтобы все $x$ целиком ``упаковались'' внутрь полного квадрата.

Вынесем коэффициент $a$ за скобки в первых двух слагаемых:

ax^2 + bx + c = a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c.

Используем формулу квадрата суммы: $(x + t)^2 = x^2 + 2tx + t^2$ . Чтобы получить $2t = \frac{b}{a}$ , необходимо взять $t = \frac{b}{2a}$ . Добавим и сразу вычтем квадрат этого числа, $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ , чтобы значение выражения не изменилось:

a\!\left(x^2 + 2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c.

Упрощаем свободный член и получаем канонический вид квадратного трёхчлена:

\boxed{ ax^2 + bx + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} }

(Заметим, что $\frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{D}{4a}$ , где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант).

3. Откуда берутся минимум и максимум

Ключевое наблюдение: квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \geqslant 0 \quad \text{для любого } x.

Причём равенство нулю достигается ровно в одной точке: $x = -\dfrac{b}{2a}$ .

Теперь посмотрим, что это даёт для всего трёхчлена $P(x) = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$ .

Случай $a > 0$ . Множитель $a$ положителен, поэтому

a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \geqslant 0.

Добавляя к этому выражению свободный член $\frac{4ac - b^2}{4a}$ , получаем:

P(x) \geqslant \frac{4ac - b^2}{4a}.

Значит, трёхчлен не может быть меньше числа $\frac{4ac - b^2}{4a}$ , и это значение действительно достигается — при $x = -\frac{b}{2a}$ , когда квадрат обращается в ноль. Это и есть наименьшее значение (минимум) трёхчлена.

Случай $a < 0$ . Множитель $a$ отрицателен, поэтому

a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \leqslant 0.

Добавляя к этому выражению свободный член, получаем:

P(x) \leqslant \frac{4ac - b^2}{4a}.

Значит, трёхчлен не может быть больше числа $\frac{4ac - b^2}{4a}$ , и это значение достигается при $x = -\frac{b}{2a}$ . Это и есть наибольшее значение (максимум) трёхчлена.

Геометрическая интерпретация. Если ввести переменную $y = ax^2 + bx + c$ , то графиком этой квадратной функции будет парабола. Точка $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , в которой достигается экстремум, — это абсцисса вершины параболы, а $y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}$ — её ордината:

x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}.

При $a > 0$ ветви параболы направлены вверх ( $\cup$ ) — вершина является точкой минимума. При $a < 0$ ветви направлены вниз ( $\cap$ ) — вершина является точкой максимума.

Важно для ЕГЭ: не путайте точку экстремума и экстремум. Точка минимума (или точка максимума) — это значение аргумента $x_0$ , в котором функция достигает экстремума. Минимум (или максимум) — это само значение функции $y_0$ в этой точке. То есть точка минимума — это абсцисса $x$ , а минимум — это ордината $y$ .

4. Разбор примеров

В каждом примере покажем два способа: полный (через выделение квадрата) и короткий (через формулу вершины).

Пример 1. Найти наименьшее значение трёхчлена $x^2 + 4x + 5$ .

Способ 1 (полный). Здесь $a = 1 > 0$ , поэтому ищем минимум. Выделяем полный квадрат:

x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 5 = (x + 2)^2 + 1.

Так как $(x + 2)^2 \geqslant 0$ для любого $x$ , то всё выражение $\geqslant 1$ . Равенство достигается при $x + 2 = 0$ , то есть $x = -2$ .

Способ 2 (через формулу вершины). Находим абсциссу вершины:

x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2.

Подставляем в трёхчлен:

y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1.

Ответ: наименьшее значение равно $1$ (при $x = -2$ ).

Пример 2. Найти наибольшее значение трёхчлена $-x^2 + 8x - 2$ .

Способ 1 (полный). Здесь $a = -1 < 0$ , поэтому ищем максимум. Выносим минус за скобки в первых двух слагаемых:

-x^2 + 8x - 2 = -(x^2 - 8x) - 2.

Дополняем до квадрата внутри скобок: $x^2 - 8x = (x^2 - 8x + 16) - 16 = (x - 4)^2 - 16$ . Подставляем обратно, аккуратно раскрывая скобки:

-\bigl((x - 4)^2 - 16\bigr) - 2 = -(x - 4)^2 + 16 - 2 = -(x - 4)^2 + 14.

Так как $(x - 4)^2 \geqslant 0$ , то $-(x - 4)^2 \leqslant 0$ . Следовательно, всё выражение $\leqslant 14$ .

Способ 2 (через формулу вершины). Находим абсциссу вершины:

x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = 4.

Подставляем в трёхчлен:

y_0 = -(4)^2 + 8 \cdot 4 - 2 = -16 + 32 - 2 = 14.

Ответ: наибольшее значение равно $14$ (при $x = 4$ ).

Пример 3. Найти наименьшее значение трёхчлена $3x^2 + 6x + 11$ .

Способ 1 (полный). $a = 3 > 0$ , ищем минимум. Выносим $3$ за скобки:

3x^2 + 6x + 11 = 3(x^2 + 2x) + 11.

Дополняем: $x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1$ .

3\bigl((x + 1)^2 - 1\bigr) + 11 = 3(x + 1)^2 - 3 + 11 = 3(x + 1)^2 + 8.

Так как $3(x + 1)^2 \geqslant 0$ , выражение $\geqslant 8$ .

Способ 2 (через формулу вершины). Находим абсциссу вершины:

x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -1.

Подставляем в трёхчлен:

y_0 = 3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) + 11 = 3 - 6 + 11 = 8.

Ответ: наименьшее значение равно $8$ (при $x = -1$ ).

5. Главная ловушка: почему НЕЛЬЗЯ просто «умножить на минус»?

Очень частая ошибка возникает при решении Примера 2 ( $-x^2 + 8x - 2$ ). Знак минус перед $x^2$ мешает, и возникает желание умножить весь трёхчлен на $-1$ , чтобы привести его к «стандартному» виду:

-(-x^2 + 8x - 2) = x^2 - 8x + 2.

Далее выделяют квадрат: $x^2 - 8x + 2 = (x - 4)^2 - 14$ . Увидев число $-14$ , иногда ошибочно пишут в ответ: «Наименьшее значение равно $-14$ ».

Это грубая ошибка. Разберём, почему.

Если умножить исходный трёхчлен $P(x)$ на $-1$ , получается новый трёхчлен $Q(x) = -P(x)$ . Наименьшее значение этого нового трёхчлена $Q(x)$ действительно равно $-14$ .

Однако как связаны значения $P(x)$ и $Q(x)$ ?

P(x) = -Q(x).

Это означает, что там, где $Q(x)$ принимает наименьшее значение (например, $-14$ ), исходный трёхчлен $P(x)$ будет принимать наибольшее значение (поскольку $-(-14) = 14$ ).

Пожалуйста, не попадайтесь в эту ловушку! Надёжнее не умножать на $-1$ , а аккуратно выносить коэффициент $a$ за скобки, как показано в примерах выше.