Навык

Метод группировки

Разложить выражение на множители — один из главных способов превратить сложное уравнение в несколько простых. Обычно для этого используют формулы сокращённого умножения (ФСУ). Но помогают они далеко не всегда.

Например, выражение $ab - 3a + 4b - 12$ ни под одну из них не подходит. И всё-таки

ab - 3a + 4b - 12 = (a + 4)(b - 3).

Проверьте сами: раскройте скобки справа — получится то же самое. Такое разложение можно даже угадать, если немного потренироваться.

Но не гадать же каждый раз? Есть ли надёжный способ? Есть!

И новых формул учить не придётся: нужны только внимательность и немного практики.

Итак, данная статья посвящена методу группировки.

Встречайте:

Метод группировки — это разложение на множители, при котором слагаемые разбивают на группы, в каждой группе выделяют общий множитель, а затем выносят за скобки общий множитель всего выражения:

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{ax + ay}\mkern-3mu}}{ax + ay} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} + bx + by}\mkern-3mu}}{{} + bx + by} = a\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + y)$} + b\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + y)$} = \colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + y)$}(a + b).

Как это работает

Если сумма нескольких слагаемых не имеет общего множителя, действуем так.

I. Разбиваем слагаемые на группы. Четыре слагаемых — на две пары, шесть — на три пары по два слагаемых или на две группы по три. Внутри каждой группы должен быть общий множитель. Помните, что слагаемые можно переставлять.

II. В каждой группе выносим общий множитель за скобки. Получается сумма произведений:

\colorbox{#BCECD1}{$\color{#2B2B2B}a$} \cdot \colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + y)$} + \colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}b$} \cdot \colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + y)$}.

III. Проверяем, совпали ли скобки в каждой группе. Если они совпали — это и есть общий множитель всего выражения, выносим его:

\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + y)$} \cdot \bigl(\colorbox{#BCECD1}{$\color{#2B2B2B}a$} + \colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}b$}\bigr).

Если скобки отличаются только знаком, например $(b - 4)$ и $(4 - b)$ , — поправляем знак: $(4 - b) = -(b - 4)$ . Если скобки разные — разбивка не подошла, пробуем другую.

Если вы не просто раскладываете выражение, а решаете уравнение, то нужно сделать ещё один шаг.

IV. Приравниваем каждый множитель к нулю. Разложение превращает одно уравнение в несколько простых. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены:

(x + y)(a + b) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} x + y = 0, \\ a + b = 0. \end{array}\right.

Каждое уравнение совокупности проще исходного — ради этого всё и затевалось. Для многочленов оговорка «определены» ничего не меняет: они определены всегда. А вот если среди множителей есть дробь, корень или логарифм, каждый найденный корень нужно проверить по ОДЗ.

Алгоритм в одной схеме

Весь метод — на одной схеме:

Примеры

Пример 1. Разложите на множители

ab - 3a + 4b - 12.

Пояснение. Общего множителя у всех четырёх слагаемых нет. Зато у первых двух есть общий множитель $a$ , а у последних двух — число $4$ . Разбиваем на пары:

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{ab - 3a}\mkern-3mu}}{ab - 3a} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} + 4b - 12}\mkern-3mu}}{{} + 4b - 12}.

Решение. Из первой пары выносим $a$ , из второй — $4$ :

a\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(b - 3)$} + 4\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(b - 3)$}.

Скобки одинаковые — значит, множитель $(b - 3)$ есть и в первом, и во втором слагаемом. Выносим его:

\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(b - 3)$}(a + 4).

Ответ: $(b - 3)(a + 4)$ .

Замечание. Пары можно было составить иначе: $ab$ с $4b$ (общий множитель $b$ ) и $-3a$ с $-12$ (общий множитель $-3$ ):

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{ab + 4b}\mkern-3mu}}{ab + 4b} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} - 3a - 12}\mkern-3mu}}{{} - 3a - 12} = b\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(a + 4)$} - 3\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(a + 4)$} = (a + 4)(b - 3).

Разложение то же самое, только множители поменялись местами.

Пример 2. Разложите на множители

2x^{2} + 3xy - 4x - 6y.

Пояснение. Здесь слагаемые — не просто буквы и числа, а одночлены. Общего множителя у всех четырёх слагаемых нет. Зато у первых двух есть общий множитель $x$ , а у последних двух — общий множитель $-2$ . Разбиваем на пары:

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{2x^{2} + 3xy}\mkern-3mu}}{2x^{2} + 3xy} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} - 4x - 6y}\mkern-3mu}}{{} - 4x - 6y}.

Решение. Из первой пары выносим $x$ , из второй — $-2$ :

x\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(2x + 3y)$} - 2\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(2x + 3y)$}.

Скобки одинаковые — значит, множитель $(2x + 3y)$ есть и в первом, и во втором слагаемом. Выносим его:

\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(2x + 3y)$}(x - 2).

Ответ: $(2x + 3y)(x - 2)$ .

Замечание. Пары можно было составить иначе: $2x^{2}$ с $-4x$ (общий множитель $2x$ ) и $3xy$ с $-6y$ (общий множитель $3y$ ):

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{2x^{2} - 4x}\mkern-3mu}}{2x^{2} - 4x} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} + 3xy - 6y}\mkern-3mu}}{{} + 3xy - 6y} = 2x\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x - 2)$} + 3y\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x - 2)$} = (x - 2)(2x + 3y).

Разложение то же самое.

Пример 3. Разложите на множители

x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1.

Пояснение. Слагаемых шесть — разбиваем их на три пары по два слагаемых. В первой паре общий множитель $x^{4}$ , во второй $x^{2}$ , а в третьей общего множителя, кроме единицы, нет — и это не страшно:

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{x^{5} + x^{4}}\mkern-3mu}}{x^{5} + x^{4}} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} + x^{3} + x^{2}}\mkern-3mu}}{{} + x^{3} + x^{2}} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1565C0}\underbrace{\phantom{{} + x + 1}\mkern-3mu}}{{} + x + 1}.

Решение.

x^{4}\cdot\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + 1)$} + x^{2}\cdot\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + 1)$} + 1\cdot\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + 1)$}.

Скобка $(x + 1)$ встретилась три раза — выносим её:

\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + 1)$}(x^{4} + x^{2} + 1).

Ответ: $(x + 1)(x^{4} + x^{2} + 1)$ .

Замечание. Те же шесть слагаемых можно, переставив их, разбить на две группы по три — через одно:

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{x^{5} + x^{3} + x}\mkern-3mu}}{x^{5} + x^{3} + x} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} + x^{4} + x^{2} + 1}\mkern-3mu}}{{} + x^{4} + x^{2} + 1} = x\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x^{4} + x^{2} + 1)$} + \colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x^{4} + x^{2} + 1)$} = (x^{4} + x^{2} + 1)(x + 1).

Разложение то же самое.

Пример 4. Решите уравнение

x^{3} + 3x^{2} - 4x - 12 = 0.

Пояснение. Это тот же приём, только вместо букв $a$ и $b$ — степени $x$ . У первых двух слагаемых общий множитель $x^{2}$ , у последних двух — $-4$ :

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{x^{3} + 3x^{2}}\mkern-3mu}}{x^{3} + 3x^{2}} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} - 4x - 12}\mkern-3mu}}{{} - 4x - 12} = 0.

Решение.

x^{2}\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + 3)$} - 4\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x + 3)$} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x + 3)(x^{2} - 4) = 0.

Вторая скобка — разность квадратов: $x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$ . Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель:

(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} x = -3, \\ x = 2, \\ x = -2. \end{array}\right.

Ответ: $-3;\ -2;\ 2$ .

Замечание. Группировка не единственна. Можно было сгруппировать иначе:

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{x^{3} - 4x}\mkern-3mu}}{x^{3} - 4x} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} + 3x^{2} - 12}\mkern-3mu}}{{} + 3x^{2} - 12} = x\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x^{2} - 4)$} + 3\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(x^{2} - 4)$} = (x^{2} - 4)(x + 3).

Получилось то же самое.

До сих пор мы работали с многочленами, но метод работает шире: вместо букв могут стоять любые функции — синусы, логарифмы, степени. Суть та же: найти общее и вынести его за скобку.

Пример 5. Решите уравнение

\sin x \cos x + \sin x + \cos x + 1 = 0.

Пояснение. Буквы сменились на $\sin x$ и $\cos x$ , а приём прежний. У первых двух слагаемых общий множитель $\sin x$ , у последних двух — $1$ :

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{\sin x \cos x + \sin x}\mkern-3mu}}{\sin x \cos x + \sin x} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} + \cos x + 1}\mkern-3mu}}{{} + \cos x + 1} = 0.

Решение.

\sin x\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(\cos x + 1)$} + \colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(\cos x + 1)$} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (\cos x + 1)(\sin x + 1) = 0.

Отсюда

\left[\begin{array}{l} \cos x = -1, \\ \sin x = -1 \end{array}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} x = \pi + 2\pi k, \\[2pt] x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \end{array}\right. \qquad k \in \mathbb{Z}.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ \pi + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ .

Ловушка! Уравнение из примера 5 можно переписать так: $\sin x \, (\cos x + 1) = -(\cos x + 1)$ . Очень хочется «сократить» обе части на $(\cos x + 1)$ и получить $\sin x = -1$ . Но делить можно только на то, что заведомо не равно нулю, а $\cos x + 1$ обращается в нуль при $x = \pi + 2\pi k$ — и вся эта серия корней пропадёт. Правило простое: на выражение, которое может обращаться в нуль, не делим — выносим за скобку. Метод группировки для того и нужен: он не теряет корни и превращает одно уравнение в несколько простых.

Пример 6. Решите уравнение

x \log_{2} x - 3x - 4\log_{2} x + 12 = 0.

Пояснение. Здесь перемешаны $x$ и $\log_{2} x$ , и по-другому это уравнение не решить. Зато у первых двух слагаемых общий множитель $x$ , у последних двух — число $-4$ :

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underbrace{\phantom{x \log_{2} x - 3x}\mkern-3mu}}{x \log_{2} x - 3x} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underbrace{\phantom{{} - 4\log_{2} x + 12}\mkern-3mu}}{{} - 4\log_{2} x + 12} = 0.

Решение. ОДЗ: $x > 0$ .

x\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(\log_{2} x - 3)$} - 4\colorbox{#FFE3A6}{$\color{#2B2B2B}(\log_{2} x - 3)$} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (\log_{2} x - 3)(x - 4) = 0.

Отсюда

\left[\begin{array}{l} \log_{2} x = 3, \\ x = 4 \end{array}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} x = 8, \\ x = 4. \end{array}\right.

Оба корня положительны, то есть входят в ОДЗ.

Ответ: $4;\ 8$ .

Когда метод не работает

Метод группировки сильный, но не всесильный: некоторые выражения им не разложить. Вот пример.

Пример 7. Попробуем разложить на множители многочлен

x^{3} + 2x^{2} + 3x + 4.

Решение. Слагаемых четыре. Разбить их на две пары можно тремя способами — проверим все.

Способ 1. Группируем первые два и последние два слагаемых:

(x^{3} + 2x^{2}) + (3x + 4) = x^{2}(x + 2) + 1\cdot(3x + 4).

Скобки $(x + 2)$ и $(3x + 4)$ различаются — разбивка не подошла.

Способ 2. Группируем первое с третьим и второе с четвёртым:

(x^{3} + 3x) + (2x^{2} + 4) = x(x^{2} + 3) + 2(x^{2} + 2).

Скобки $(x^{2} + 3)$ и $(x^{2} + 2)$ различаются — разбивка не подошла.

Способ 3. Группируем первое с четвёртым и второе с третьим:

(x^{3} + 4) + (2x^{2} + 3x) = (x^{3} + 4) + x(2x + 3).

В первой паре нет общего множителя (кроме $1$ ), а $x^{3} + 4$ — не сумма кубов, так как $4$ не является кубом целого числа. Разбивка снова не подошла.

Ни один из трёх способов не дал одинаковых скобок. Метод группировки здесь не работает.

Вывод: если ни одна разбивка не дала одинаковых скобок, не мучайте выражение — возможно, оно не раскладывается или раскладывается другим способом.