Навык

Целая часть у алгебраических дробей

Выделение целой части или Как приручить алгебраическую дробь?

При решении разнообразных алгебраических задач — от поиска целочисленных решений до построения графиков функций — часто возникает необходимость видоизменить алгебраическую дробь $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ (где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, а степень числителя не меньше степени знаменателя).

Чтобы упростить работу с таким выражением, нам необходимо представить дробь в виде:

\frac{P(x)}{Q(x)} = A(x) + \frac{C}{Q(x)}

где многочлен $A(x)$ — это так называемая "целая часть", а $\dfrac{C}{Q(x)}$ — правильная дробь, в числителе которой $C$ — это константа (число).

Главная идея

Секрет кроется в простой "арифметической" хитрости: мы искусственно создаём в числителе выражение, кратное знаменателю. Это аналог того, как мы превращаем неправильную дробь $\dfrac{7}{3}$ в $2 + \dfrac{1}{3}$ :

\dfrac{7}{3} = \dfrac{2\cdot 3+1}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}.

Давайте посмотрим, как этот метод работает в классических задачах.

Задача на делимость. Найдите все натуральные $n$ , при которых выражение $\dfrac{2n+7}{n+1}$ является целым числом.

Решение. В исходном виде неочевидно, при каких $n$ дробь целая. Идея проста: "пересобрать" числитель так, чтобы в нём появилось слагаемое, кратное знаменателю $n+1$ .

Заметим, что $2(n+1) = 2n+2$ . Значит, нужно представить $2n+7$ в виде $2n+2$ плюс остаток. Разобьём $7$ как $2+5$ :

2n + 7 = 2n + 2 + 5 = 2(n+1) + 5.

Теперь разбиваем дробь на две части:

\frac{2(n+1) + 5}{n+1} = \frac{2(n+1)}{n+1} + \frac{5}{n+1} = 2 + \frac{5}{n+1}.

Чтобы всё выражение было целым, дробь $\dfrac{5}{n+1}$ должна быть целой, то есть $(n+1)$ — делитель числа $5$ . Делители числа $5$ : $\pm 1, \pm 5$ . Так как $n \geqslant 1$ , то $n+1 \geqslant 2$ , и единственный подходящий делитель — $5$ . Получаем $n+1 = 5$ , откуда $n = 4$ .

Проверка: при $n=4$ дробь равна $\dfrac{15}{5} = 3$ — целое число.

Коротко преобразования можно изложить так:

\frac{2n+7}{n+1} = \frac{2n + 2 + 5}{n+1} = \frac{2(n+1) + 5}{n+1} = 2 + \frac{5}{n+1}.

Ответ: $n = 4$ .

Построение графиков дробно-линейных функций. Постройте график функции $y = \dfrac{x+1}{x+2}$ .

Решение. Построение "в лоб" даст набор точек, но не покажет общую форму графика. Выделим в числителе знаменатель $x+2$ : нужно представить $x+1$ как $(x+2)$ плюс остаток. Очевидно, $x+1 = (x+2) - 1$ .

Разбиваем дробь:

y = \frac{(x+2) - 1}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} - \frac{1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2}.

Теперь график строится сдвигами базовой гиперболы $y = -\dfrac{1}{x}$ :

замена $x$ на $(x+2)$ — сдвиг на $2$ единицы влево;
прибавление $+1$ — сдвиг на $1$ единицу вверх.

Из формулы мгновенно считываются асимптоты: вертикальная $x = -2$ (знаменатель обращается в ноль) и горизонтальная $y = 1$ (при $x \to \pm\infty$ дробь стремится к нулю). Центр гиперболы — в точке $(-2;\, 1)$ . Ветви расположены во второй и четвёртой четвертях относительно центра (коэффициент перед дробью отрицательный).

Рисунок 1. График функции $y = -\dfrac{1}{x+2} + 1$ с асимптотами $x=-2$ и $y=1$ .

Коротко преобразования можно изложить так:

y = \frac{x+1}{x+2} = \frac{x + 2 - 1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2}.

Дробь с коэффициентом при $x$ в знаменателе. Выделите целую часть в дроби $\dfrac{3x+4}{2x-1}$ .

Решение. Здесь знаменатель $2x-1$ , а в числителе стоит $3x$ . Чтобы работать с целыми коэффициентами, умножим и разделим дробь на $2$ :

\frac{3x+4}{2x-1} = \frac{2(3x+4)}{2(2x-1)} = \frac{6x+8}{2(2x-1)}.

Теперь в числителе $6x+8$ . Заметим, что $3(2x-1) = 6x-3$ . Представим $6x+8$ как $6x-3$ плюс остаток: $6x+8 = (6x-3) + 11 = 3(2x-1) + 11$ .

Подставляем:

\frac{3(2x-1) + 11}{2(2x-1)} = \frac{3(2x-1)}{2(2x-1)} + \frac{11}{2(2x-1)} = \frac{3}{2} + \frac{11}{2(2x-1)}.

Целая часть — константа $\dfrac{3}{2}$ , остаток — правильная дробь $\dfrac{11}{2(2x-1)}$ .

Коротко преобразования можно изложить так:

\begin{aligned} &\frac{3x+4}{2x-1} = \frac{6x+8}{2(2x-1)} = \frac{6x - 3 + 11}{2(2x-1)} = \\ &= \frac{3(2x-1) + 11}{2(2x-1)} = \frac{3}{2} + \frac{11}{2(2x-1)}. \end{aligned}

Отрицательный старший коэффициент. Выделите целую часть в дроби $\dfrac{-x^2-5x-11}{x+3}$ .

Решение. Степень числителя равна двум, знаменатель — линейный многочлен $x+3$ . Будем последовательно "вытаскивать" $(x+3)$ из числителя, начиная со старшего члена.

Сначала выделяем $-x(x+3) = -x^2 - 3x$ :

-x^2 - 5x - 11 = -x^2 - 3x - 2x - 11 = -x(x+3) - 2x - 11.

Теперь из оставшегося $-2x - 11$ выделяем $-2(x+3) = -2x - 6$ :

-2x - 11 = -2x - 6 - 5 = -2(x+3) - 5.

Собираем:

-x^2 - 5x - 11 = -x(x+3) - 2(x+3) - 5 = (-x-2)(x+3) - 5.

Делим на $(x+3)$ :

\frac{(-x-2)(x+3) - 5}{x+3} = -x - 2 - \frac{5}{x+3}.

Целая часть — линейный многочлен $-x-2$ , остаток — правильная дробь $-\dfrac{5}{x+3}$ .

Коротко преобразования можно изложить так:

\begin{aligned} &\frac{-x^2-5x-11}{x+3} = \frac{-x^2 - 3x - 2x - 11}{x+3} = \frac{-x(x+3) - 2x - 11}{x+3} = \\ &= \frac{-x(x+3) - 2(x+3) - 5}{x+3} = -x - 2 - \frac{5}{x+3}. \end{aligned}

Деление многочленов с остатком. Преобразуем дробь $\dfrac{2x^2 + 5x - 1}{x + 2}$ .

Решение. Аналогично предыдущему примеру, последовательно выделяем $(x+2)$ в числителе.

Сначала выделяем $2x(x+2) = 2x^2 + 4x$ :

2x^2 + 5x - 1 = 2x^2 + 4x + x - 1 = 2x(x+2) + x - 1.

Теперь из оставшегося $x - 1$ выделяем $(x+2)$ :

x - 1 = x + 2 - 3 = 1\cdot(x+2) - 3.

Собираем:

2x^2 + 5x - 1 = 2x(x+2) + (x+2) - 3 = (2x+1)(x+2) - 3.

Делим на $(x+2)$ :

\frac{(2x+1)(x+2) - 3}{x+2} = 2x + 1 - \frac{3}{x+2}.

Целая часть — $2x+1$ , остаток — $-\dfrac{3}{x+2}$ .

Коротко преобразования можно изложить так:

\begin{aligned} &\frac{2x^2+5x-1}{x+2} = \frac{2x^2 + 4x + x - 1}{x+2} = \frac{2x(x+2) + x - 1}{x+2} = \\ &= \frac{2x(x+2) + (x+2) - 3}{x+2} = 2x + 1 - \frac{3}{x+2}. \end{aligned}