Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Неравенства
ФИПИ
Решите неравенство
log⁡0,5(x3−3x2−9x+27)⩽log⁡0,25(x−3)4.\log_{0,5} \left( x^3 - 3x^2 - 9x + 27 \right) \leqslant \log_{0,25}(x - 3)^4.log0,5​(x3−3x2−9x+27)⩽log0,25​(x−3)4.

Решение

Приведём логарифмы к одному основанию:
log⁡0,25(x−3)4=log⁡0,52(x−3)4=12⋅2⋅log⁡0,5(x−3)2=log⁡0,5(x−3)2.\log_{0,25}(x-3)^4 = \log_{0,5^2}(x-3)^4 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \log_{0,5}(x-3)^2 = \log_{0,5}(x-3)^2.log0,25​(x−3)4=log0,52​(x−3)4=21​⋅2⋅log0,5​(x−3)2=log0,5​(x−3)2.
Неравенство принимает следующий вид:
log⁡0,5(x3−3x2−9x+27)⩽log⁡0,5(x−3)2.\log_{0,5} \left( x^3 - 3x^2 - 9x + 27 \right) \leqslant \log_{0,5}(x-3)^2.log0,5​(x3−3x2−9x+27)⩽log0,5​(x−3)2.

Воспользуемся методом рационализации. Основание 0,5<10,5 < 10,5<1, поэтому неравенство равносильно следующей системе:
{x3−3x2−9x+27⩾(x−3)2,(x−3)2>0,x3−3x2−9x+27>0.\begin{cases}
x^3 - 3x^2 - 9x + 27 \geqslant (x-3)^2, \\[4pt]
(x-3)^2 > 0, \\[4pt]
x^3 - 3x^2 - 9x + 27 > 0.
\end{cases}⎩⎨⎧​x3−3x2−9x+27⩾(x−3)2,(x−3)2>0,x3−3x2−9x+27>0.​
Последнее неравенство системы выполнено, если выполнены первые два. Тогда получаем систему:
{x3−3x2−9x+27⩾(x−3)2,(x−3)2>0.\begin{cases}
x^3 - 3x^2 - 9x + 27 \geqslant (x-3)^2, \\[4pt]
(x-3)^2 > 0. \\[4pt]
\end{cases}⎩⎨⎧​x3−3x2−9x+27⩾(x−3)2,(x−3)2>0.​

Разложим левую часть первого неравенства на множители:
x3−3x2−9x+27=x2(x−3)−9(x−3)=(x−3)(x2−9)=x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = x^2(x-3) - 9(x-3) = (x-3)(x^2 - 9) =x3−3x2−9x+27=x2(x−3)−9(x−3)=(x−3)(x2−9)=
=(x−3)(x−3)(x+3)=(x−3)2(x+3).= (x-3)(x-3)(x+3) = (x-3)^2(x+3).=(x−3)(x−3)(x+3)=(x−3)2(x+3).
Получаем:
{(x−3)2(x+3)⩾(x−3)2,(x−3)2>0.⇔  {(x−3)2(x+3−1)⩾0,x≠3.⇔  {x+2⩾0,x≠3.\begin{cases}
(x-3)^2(x+3) \geqslant (x-3)^2, \\[4pt]
(x-3)^2 > 0. \\[4pt]
\end{cases}
\Leftrightarrow\;
\begin{cases}
(x-3)^2(x + 3 - 1) \geqslant 0, \\[4pt]
x \neq 3. \\[4pt]
\end{cases}
\Leftrightarrow\;
\begin{cases}
x + 2 \geqslant 0, \\[4pt]
x \neq 3. \\[4pt]
\end{cases}⎩⎨⎧​(x−3)2(x+3)⩾(x−3)2,(x−3)2>0.​⇔⎩⎨⎧​(x−3)2(x+3−1)⩾0,x=3.​⇔⎩⎨⎧​x+2⩾0,x=3.​
Итого получаем: [−2;3)∪(3;+∞)[-2;3) \cup (3;+\infty)[−2;3)∪(3;+∞).

Ответ: [−2;3)∪(3;+∞)[-2;3) \cup (3;+\infty)[−2;3)∪(3;+∞).