Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ФИПИ
Скопировать ссылку
ffbd7794
Решите неравенство
log
2
2
(
25
−
x
2
)
−
7
log
2
(
25
−
x
2
)
+
12
⩾
0.
\log_2^2 (25 - x^2) - 7 \log_2 (25 - x^2) + 12 \geqslant 0.
lo
g
2
2
(
25
−
x
2
)
−
7
lo
g
2
(
25
−
x
2
)
+
12
⩾
0.
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Найдём область допустимых значений:
25
−
x
2
>
0
⇔
x
∈
(
−
5
;
5
)
.
25 - x^2 > 0\;\Leftrightarrow\; x \in (-5; 5).
25
−
x
2
>
0
⇔
x
∈
(
−
5
;
5
)
.
Сделаем замену
log
2
(
25
−
x
2
)
=
t
\log_2(25 - x^2) = t
lo
g
2
(
25
−
x
2
)
=
t
:
t
2
−
7
t
+
12
⩾
0
;
t^2 - 7t + 12 \geqslant 0;
t
2
−
7
t
+
12
⩾
0
;
(
t
−
3
)
(
t
−
4
)
⩾
0.
(t - 3)(t - 4) \geqslant 0.
(
t
−
3
)
(
t
−
4
)
⩾
0.
Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
t
∈
(
−
∞
;
3
]
∪
[
4
;
+
∞
)
.
t \in (-\infty; 3]\cup [4; +\infty).
t
∈
(
−
∞
;
3
]
∪
[
4
;
+
∞
)
.
Сделаем обратную замену. Получаем следующую совокупность:
[
log
2
(
25
−
x
2
)
⩽
3
,
log
2
(
25
−
x
2
)
⩾
4.
\left[
\begin{array}{l}
\log_2(25 - x^2) \leqslant 3, \\[2mm]
\log_2(25 - x^2) \geqslant 4.
\end{array}
\right.
[
lo
g
2
(
25
−
x
2
)
⩽
3
,
lo
g
2
(
25
−
x
2
)
⩾
4.
Решим первое неравенство. Так как основание
2
>
1
2 > 1
2
>
1
,
то получаем:
25
−
x
2
⩽
8
;
25 - x^2 \leqslant 8;
25
−
x
2
⩽
8
;
−
x
2
⩽
−
17
;
-x^2 \leqslant -17;
−
x
2
⩽
−
17
;
x
2
⩾
17
;
x^2 \geqslant 17;
x
2
⩾
17
;
x
∈
(
−
∞
;
−
17
]
∪
[
17
;
+
∞
)
.
x \in \left(-\infty; -\sqrt{17}\right]\cup \left[\sqrt{17}; +\infty\right).
x
∈
(
−
∞
;
−
17
]
∪
[
17
;
+
∞
)
.
С учётом ОДЗ получаем:
x
∈
(
−
5
;
−
17
]
∪
[
17
;
5
)
x \in \left(-5; -\sqrt{17}\right]\cup \left[\sqrt{17}; 5\right)
x
∈
(
−
5
;
−
17
]
∪
[
17
;
5
)
.
Решим второе неравенство:
25
−
x
2
⩾
16
;
25 - x^2 \geqslant 16;
25
−
x
2
⩾
16
;
−
x
2
⩾
−
9
;
-x^2 \geqslant -9;
−
x
2
⩾
−
9
;
x
2
⩽
9.
x^2 \leqslant 9.
x
2
⩽
9.
Получаем:
x
∈
[
−
3
;
3
]
x \in [-3; 3]
x
∈
[
−
3
;
3
]
.
Объединяем полученные решения:
x
∈
(
−
5
;
−
17
]
∪
[
−
3
;
3
]
∪
[
17
;
5
)
.
x \in \left(-5; -\sqrt{17}\right] \cup [-3; 3] \cup \left[\sqrt{17}; 5\right).
x
∈
(
−
5
;
−
17
]
∪
[
−
3
;
3
]
∪
[
17
;
5
)
.
Ответ:
(
−
5
;
−
17
]
∪
[
−
3
;
3
]
∪
[
17
;
5
)
\left(-5; -\sqrt{17}\right] \cup [-3; 3] \cup \left[\sqrt{17}; 5\right)
(
−
5
;
−
17
]
∪
[
−
3
;
3
]
∪
[
17
;
5
)
.
