В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Ответ:
Решение
Пусть основания равны a и b,b>a, а боковая сторона равна l. Так как в трапецию можно вписать окружность и она равнобедренная, 2l=a+b. Из периметра P=120 получаем l=30,a+b=60. По площади трапеции 540=2a+b⋅h, значит h=18. После опускания высот получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой l и катетом h. Поэтому 2b−a=302−182=24, то есть b−a=48. Тогда a=6,b=54. Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований, поэтому расстояние до меньшего основания равно a+ba⋅h=606⋅18=59.
