Показательные уравнения — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

8^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 2^{5-x} = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[\log_4 5; \sqrt{3} \right]

Решение

а) Приведём все степени к основанию 2:

8^x = 2^{3x},\quad 2^{x+2} = 4 \cdot 2^x,\quad 2^{5-x} = 32 \cdot 2^{-x}.

Уравнение принимает вид:

2^{3x} - 12 \cdot 2^x + 32 \cdot 2^{-x} = 0.

Умножим обе части на

2^x > 0

2^{4x} - 12 \cdot 2^{2x} + 32 = 0.

Сделаем замену

2^{2x} = t > 0

t^2 - 12t + 32 = 0.

С помощью теоремы Виета находим корни этого квадратного уравнения:

\left[ \begin{array}{l} t = 4,\\ t = 8. \end{array} \right.

Сделаем обратную замену:

\left[ \begin{array}{l} 2^{2x} = 4,\\ 2^{2x} = 8. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 2^{2x} = 2^2,\\ 2^{2x} = 2^3. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 2x = 2,\\ 2x = 3. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = 1,\\ x = 1{,}5. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\log_4 5; \sqrt{3}\right]

.

1) Заметим, что

1 < \sqrt{3}

. Сравним

1

\log_4 {5}

1 = \log_4 4 < \log_4 5,

следовательно,

1

не входит в отрезок

\left[\log_4 5; \sqrt{3}\right]

.
2) Сравним

1{,}5

\log_4 5

1{,}5 = \log_4 8 > \log_4 5.

Сравним

1{,}5 = \dfrac{3}{2}

\sqrt{3}

1{,}5 \vee \sqrt{3};

\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \vee 3;

\dfrac{9}{4} \vee 3;

9 < 12.

Таким образом,

1{,}5 < \sqrt{3}

, значит,

1{,}5 \in \left[\log_4 5; \sqrt{3}\right]

Ответ:

\text{a) } 1; \; 1,5. \quad \text{б) } 1,5

Похожие задачи