Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5x2+2x+6) млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px−(0,5x2+2x+6). Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не больше чем за 3 года?
Решение
Пусть F(x)=−0,5x2+x(p−2)−6−функция годовой прибыли фирмы. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вниз. Значит, своё наибольшее значение она принимает в вершине
xB=−−1p−2=p−2. Найдём это значение:
F(p−2)=−0,5(p−2)2+(p−2)2−6=0,5(p−2)2−6. Так как строительство должно окупиться не более, чем за 3 года, должно выполняться неравенство 3⋅F(p−2)⩾78. Имеем:
3⋅0,5(p−2)2−18⩾78;∣:30,5(p−2)2−6⩾26;0,5(p−2)2⩾32;(p−2)2⩾64;(p−10)(p+6)⩾0;
