В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс.рублей. Найдите r
Решение
Сумма кредита S=800 тыс. рублей. Коэффициент увеличения долга:
k=1+100r.
Первый этап (2025--2030 гг.)
Долг на июль 2025 года: S=800. Обозначим через x величину (в тыс. рублей), на которую долг уменьшается в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов. По условию, в июле 2030 года долг равен 200 тыс. рублей:
800−5x=200;5x=600;x=120. Таким образом, в первые пять лет долг ежегодно уменьшается на 120 тыс. рублей.
Второй этап (2030--2035 гг.)
На начало второго этапа (июль 2030 года) долг равен 200 тыс. рублей. Обозначим через y величину, на которую долг уменьшается в июле 2031--2035 годов.
К июлю 2035 года долг выплачен полностью, следовательно:
200−5y=0;y=40. Таким образом, во вторые пять лет долг ежегодно уменьшается на 40 тыс. рублей.
Составим таблицу движения долга и платежей. Платёж в каждом году находится как разность между долгом после января (увеличенным в k раз) и долгом на конец июля.
Сумма всех платежей по условию равна 1480 тыс. рублей. Сложим платежи из таблицы:
Платежи 2026--2029 годов:
(800k−680)+(680k−560)+(560k−440)+(440k−320)==k(800+680+560+440)−(680+560+440+320)=2480k−2000. Платёж 2030 года:
320k−200. Платежи 2031--2035 годов:
(200k−160)+(160k−120)+(120k−80)+(80k−40)+40k==k(200+160+120+80+40)−(160+120+80+40+0)=600k−400. Общая сумма всех платежей:
(2480k−2000)+(320k−200)+(600k−400)=1480. Приведём подобные слагаемые и получим уравнение:
3400k−2600=1480;3400k=4080;k=34004080=1,2. Найдём r: 1+100r=1,2; 100r=0,2;r=20. Ответ: 20.
