Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Финансовая грамотностьФИПИ

В июле

2025

года планируется взять кредит на десять лет в размере

800

тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на

r

% по сравнению с концом предыдущего года (

r

– целое число);

– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

– в июле

2026

2027

2028

2029

2030

годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– в июле

2030

года долг должен составить

200

тыс. рублей;

– в июле

2031

2032

2033

2034

2035

годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю

2035

года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна

1480

тыс.рублей. Найдите

r

Ответ:

Решение

Сумма кредита

S = 800

тыс. рублей. Коэффициент увеличения долга:

k = 1 + \dfrac{r}{100}

.

Первый этап (2025--2030 гг.)

Долг на июль 2025 года:

S = 800

. Обозначим через

x

величину (в тыс. рублей), на которую долг уменьшается в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов. По условию, в июле 2030 года долг равен 200 тыс. рублей:

800 - 5x = 200;\\5x = 600;\\x = 120.

Таким образом, в первые пять лет долг ежегодно уменьшается на 120 тыс. рублей.

Второй этап (2030--2035 гг.)

На начало второго этапа (июль 2030 года) долг равен 200 тыс. рублей. Обозначим через

y

величину, на которую долг уменьшается в июле 2031--2035 годов.
К июлю 2035 года долг выплачен полностью, следовательно:

200 - 5y = 0;\\ y = 40.

Таким образом, во вторые пять лет долг ежегодно уменьшается на 40 тыс. рублей.

Составим таблицу движения долга и платежей. Платёж в каждом году находится как разность между долгом после января (увеличенным в

k

раз) и долгом на конец июля.

$Изображение 1$

Сумма всех платежей по условию равна 1480 тыс. рублей. Сложим платежи из таблицы:

Платежи 2026--2029 годов:

(800k - 680) + (680k - 560) + (560k - 440) + (440k - 320) = \\=k(800 + 680 + 560 + 440) - (680 + 560 + 440 + 320) = 2480k - 2000.

Платёж 2030 года:

320k - 200.

Платежи 2031--2035 годов:

(200k - 160) + (160k - 120) + (120k - 80) + (80k - 40) + 40k= \\ = k(200 + 160 + 120 + 80 + 40) - (160 + 120 + 80 + 40 + 0) = 600k - 400.

Общая сумма всех платежей:

(2480k - 2000) + (320k - 200) + (600k - 400) = 1480.

Приведём подобные слагаемые и получим уравнение:

3400k - 2600 = 1480;\\ 3400k = 4080;\\\ k = \dfrac{4080}{3400} = 1{,}2.

Найдём

r

1 + \dfrac{r}{100} = 1{,}2;

\dfrac{r}{100} = 0{,}2;\\ r = 20.

Ответ:

20.

Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи