На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Решение
а) Пусть было n двузначных чисел без 0 в десятичной записи. Тогда после перестановки цифр в них они принимают вид:
10a1+b1⟶10b1+a1; 10a2+b2⟶10b2+a2; 10a3+b3⟶10b3+a3; ……… 10an+bn⟶10bn+an. Тогда после суммирования чисел в каждой из групп получаем следующее:
10A(a1+a2+⋯+an)+B(b1+b2+⋯+bn)⟶10B(b1+b2+⋯+bn)+A(a1+a2+⋯+an) При этом сумма первоначальных чисел была равна 2376, а сумма чисел после перестановки стала в 3 раза меньше. Тогда получаем следующую систему в новых обозначениях:
{10A+B=2376,10B+A=792;⋅∣10{10A+B=2376,100B+10A=7920;{10A+B=2376,99B=7920−2376;{A=232,B=56. Тогда данному случаю соответствует набор чисел:
50чисел41,41,…,41,81,81,82,82. б) Если сумма чисел после перестановки стала в 6 раз меньше, то получаем систему:
{10A+B=2376,10B+A=396;⋅∣10{10A+B=2376,100B+10A=3960;{10A+B=2376,99B=3960−2376;{A=234,B=16. Так как первоначально было n чисел, то сумма всех десятков может изменяться в пределах от n до 9n, то есть n⩽A⩽9n, аналогичные ограничения получим и для суммы единиц чисел, то есть n⩽B⩽9n. Следовательно, справедливы неравенства:
A⩾n⩾9B,B⩾n⩾9A. Подставив в них полученные значения A и B, имеем:
B⩾9A⇔16⩾9234=26. Получили противоречие, значит, такой случай невозможен.
в) По условию нужно найти наименьшее значение выражения 10B+A. Выразим B из условия 10A+B=2376 и подставим в выражение 10B+A: 10(2376−10A)+A=23760−100A+A=23760−99A. Тогда для минимальности последнего выражения нужно сделать A максимально возможным. Из равенства 10A+B=2376 получаем, что A⩽237. Рассмотрим несколько вариантов.
1) Если A=237, то B=6. Но в пункте б) было получено, что B⩾9A⩾9237>26, поэтому такой случай невозможен.
2) Если A=236, то B=16. Но в пункте б) было получено, что B⩾9A⩾9236>26, поэтому такой случай невозможен.
3) Если A=235, то B=26. Но в пункте б) было получено, что B⩾9A⩾9235>26, поэтому такой случай невозможен.
Следовательно, получаем оценку A⩽234. Приведём пример для A=234: 30чисел71,71,…,71,6чисел41,41,…,41. Если A=234, то B=2376−234⋅10=2376−2340=36. Тогда получаем, что 10B+A=360+234=594. Ответ: а) да, например, 50 раз число 41, 2 раза число 81 и 2 раза число 82; б) нет; в) 594.
