Зависимость количества Q (в шт., 0⩽Q⩽15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000−P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+1000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0<t<10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ−3000Q−1000000−tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.
Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
Решение
Прибыль от продажи Q единиц товаров будет составлять
PQ−3000Q−1000000−tQ рублей, тогда получаем функцию зависимости количества товаров от её цены P, где P=15000−Q: f(Q)=(15000−Q)Q−3000Q−1000000−tQ=−Q2+(12000−t)Q−1000000. Получили квадратичную функцию, её графиком является парабола с ветвями вниз, поэтому своего наибольшего значения она достигает в вершине
Qmax=2a−b=212000−t=6000−2t. Тогда максимальная сумма налогов, собранных государством, может быть записана в виде следующего выражения:
tQmax=t(6000−2t)=−2t2+6000t. Получаем квадратичную функцию g(t)=−2t2+6000t, графиком является парабола с ветвями вниз, значит, своего наибольшего значения она достигает в вершине
tmax=2a−b=1−6000=6000рублей,6000∈(0;10000). Тогда будет куплено Q=6000−26000=3000 единиц товара, что удовлетворяет условию задачи, так как Q∈[0;15000]. Ответ: 6000 рублей.
