Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Экономические задачиЕГЭ 2025 (резерв)

Зависимость количества

Q

(в шт.,

0\leqslant Q \leqslant 15000

) купленного у фирмы товара от цены

P

(в руб. за шт.) выражается формулой

Q=15000-P

. Затраты на производство

Q

единиц товара составляют

3000Q+1000000

рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог

t

рублей (

0<t<10000

) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет

PQ-3000Q-1000000-tQ

рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна

tQ

рублей.
Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении

t

общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Решение

Прибыль от продажи

Q

единиц товаров будет составлять

PQ-3000Q-1000000-tQ

рублей, тогда получаем функцию зависимости количества товаров от её цены

P

, где

P=15000-Q

f(Q)=(15000-Q)Q-3000Q-1000000-tQ=-Q^2+(12000-t)Q-1000000.

Получили квадратичную функцию, её графиком является парабола с ветвями вниз, поэтому своего наибольшего значения она достигает в вершине

Q_{max}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{12000-t}{2}=6000-\dfrac{t}{2}.

Тогда максимальная сумма налогов, собранных государством, может быть записана в виде следующего выражения:

tQ_{max}=t\left(6000-\dfrac{t}{2}\right)=-\dfrac{t^2}{2}+6000t.

Получаем квадратичную функцию

g(t)=-\dfrac{t^2}{2}+6000t

, графиком является парабола с ветвями вниз, значит, своего наибольшего значения она достигает в вершине

t_{max}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6000}{1}=6000 \ \text{рублей}, \ 6000\in(0;10000).

Тогда будет куплено

Q=6000-\dfrac{6000}{2}=3000

единиц товара, что удовлетворяет условию задачи, так как

Q\in[0; 15000]

.
Ответ:

6000

рублей.

Похожие задачи