Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
Ответ:
Решение
1) Так как M,A,B лежат на одной прямой и M,C,D лежат на одной прямой, углы ∠BMC и ∠DMA равны как углы, образованные теми же двумя прямыми AB и CD.
2) Четырёхугольник ABCD вписанный, поэтому ∠ABC+∠CDA=180∘. Угол ∠MBC — внешний к углу ABC, значит ∠MBC=180∘−∠ABC=∠CDA. Так как M,C,D коллинеарны, ∠CDA=∠MDA.
3) Имеем две пары равных углов: ∠BMC=∠DMA и ∠MBC=∠MDA. Следовательно, △MBC∼△MDA.
