Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГЭ 2025 (пересдача)

В прямоугольном параллелепипеде

A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

точка

N

лежит на ребре

CD

. Известно, что

CN=2ND,\,\, AB=3AA_1,\,\, AD=2AA_1

.

a) Докажите, что плоскость

\alpha

, проходящая через точки

A,\,\, C_1,\,\, N

, делит ребро

A_1B_1

в отношении

2:1

.

б) Найдите площадь сечения плоскостью

\alpha

, если известно, что

AA_1=1

Решение

а) Пусть плоскость

(AC_1N)

пересекает ребро

A_1B_1

в точке

T

.
Плоскость

(AC_1N)

пересекает параллельные плоскости

(ABB_1)

(CC_1D)

по параллельным прямым, то есть

AT \parallel C_1N

.

Плоскость

(AC_1N)

пересекает параллельные плоскости

(ABC)

(A_1B_1C_1)

по параллельным прямым, то есть

AN \parallel TC_1

.

Получаем, что

ATC_1N

— параллелограмм и

AT = C_1N

\triangle AA_1T = \triangle CC_1N

по катету и гипотенузе (

AA_1 = CC_1

AT = C_1N

).
Значит,

A_1T = CN = \dfrac{2}{3}A_1B_1

, тогда

TB_1 = \dfrac{1}{3} A_1B_1

, то есть

A_1T = 2TB_1

, ч.т.д.

$Изображение 1$

б) Из

\triangle AA_1T

по теореме Пифагора:

AT^2 = AA_1^2 + A_1T^2, \quad AT = \sqrt{AA_1^2 + A_1T^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.

Из

\triangle AND

по теореме Пифагора:

AN^2 = AD^2 + DN^2, \quad AN = \sqrt{AD^2 + DN^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}.

Получаем, что четырёхугольник

ATC_1N

-- это ромб.

AC_1

— диагональ параллелепипеда, тогда:

AC_1 = \sqrt{AA_1^2 + AD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}.

\triangle ANC_1

по теореме косинусов:

AC_1 = AN^2 + NC_1^2 - 2AN\cdot NC_1\cdot \cos \angle ANC_1;

14 = 5 + 5 - 2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}\cdot \cos \angle ANC_1;

4 = - 10\cos \angle ANC_1;

\cos \angle ANC_1 = -\dfrac{2}{5}.

Из основного тригонометрического тождества получаем:

\sin \angle ANC_1 = \sqrt{1-\cos^2 \angle ANC_1} = \sqrt{1-\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\dfrac{4}{25}} = \dfrac{\sqrt{21}}{5}.

Тогда искомая площадь сечения равна

S_{ATC_1N} = AN^2 \cdot \sin \angle ANC_1 = 5 \cdot \dfrac{\sqrt{21}}{5} = \sqrt{21}.

$Изображение 2$

Ответ:

\sqrt{21}

Похожие задачи