В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка N лежит на ребре CD. Известно, что CN=2ND,AB=3AA1,AD=2AA1.
a) Докажите, что плоскость α, проходящая через точки A,C1,N, делит ребро A1B1 в отношении 2:1.
б) Найдите площадь сечения плоскостью α, если известно, что AA1=1.
Решение
а) Пусть плоскость (AC1N) пересекает ребро A1B1 в точке T. Плоскость (AC1N) пересекает параллельные плоскости (ABB1) и (CC1D) по параллельным прямым, то есть AT∥C1N.
Плоскость (AC1N) пересекает параллельные плоскости (ABC) и (A1B1C1) по параллельным прямым, то есть AN∥TC1.
Получаем, что ATC1N -- параллелограмм и AT=C1N. △AA1T=△CC1N по катету и гипотенузе (AA1=CC1,AT=C1N).
Значит, A1T=CN=32A1B1, тогда TB1=31A1B1, то есть A1T=2TB1, ч.т.д.
б) Из △AA1T по теореме Пифагора:
AT2=AA12+A1T2,AT=AA12+A1T2=12+22=5. Из △AND по теореме Пифагора:
AN2=AD2+DN2,AN=AD2+DN2=22+12=5. Получаем, что четырёхугольник ATC1N -- это ромб.
AC1 -- диагональ параллелепипеда, тогда:
AC1=AA12+AD2+AB2=12+22+32=14. В △ANC1 по теореме косинусов:
AC1=AN2+NC12−2AN⋅NC1⋅cos∠ANC1; 14=5+5−2⋅5⋅5⋅cos∠ANC1; 4=−10cos∠ANC1; cos∠ANC1=−52. Из основного тригонометрического тождества получаем:
sin∠ANC1=1−cos2∠ANC1=1−(−52)2=1−254=521. Тогда искомая площадь сечения равна
SATC1N=AN2⋅sin∠ANC1=5⋅521=21.
