B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=62,AD=10,AA1=16. На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки E и F соответственно, причём A1E:EA=5:3 и B1F:FB=5:11. Точка T - середина ребра B1C1. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Решение
а)
1) Параллельно перенесем △B1FT в плоскость AA1D1D по отрезку B1A1. 2) В результате чего образуется новый треугольник, в котором гипотенуза параллельна и равна FT. С другой стороны, она является средней линией △A1ED1. 3) Следовательно, FT∥ED1, тогда D1∈(EFT), ч. т. д.
б)
1) Получили, что сечение плоскостью (EFT) -- это четырёхугольник EFTD1. Это трапеция, так как FT∥ED1, а EF∦TD1 2) По условию B1F=165BB1=5,A1E=85AA1=10. В трапеции A1B1FE опустим высоту FK, тогда в △FKE по теореме Пифагора: FE=FK2+KE2=A1B12+B1F2=(62)2+52=97. 3) В △C1D1T по теореме Пифагора: TD1=TC12+C1D12=(2AD)2+AB2=52+(62)2=97. 4) Получаем, что EFTD1 -- равнобедренная трапеция и ED1=2FT (известно из а).
Значит, ED1=2FT=2B1F2+B1T2=252+52=102. 5) Тогда hEFTD1=EF2−(2ED1−FT)2=(97)2−(2102−52)2=213. 6) Получаем, что Sсеч=2FT+ED1⋅hEFTD1=252+102⋅213=97,5. Ответ: б) 97,5
