Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(1−(x+a+1)2)3−(1−(x+a+1)2)2=23∣x−a∣−22∣x−a∣ имеет хотя бы 1 решение.
Решение
Пусть u=1−(x+a+1)2,v=2∣x−a∣. Уравнение примет вид:
u3−u2=v3−v2,u2(u−1)=v2(v−1). Заметим, что (x+a+1)2⩾0, значит, 1−(x+a+1)2⩽1, то есть u⩽1. А также ∣x−a∣⩾0, тогда 2∣x−a∣⩾1, то есть v⩾1. Пусть f(t)=t3−t2=t2(t−1). Рассмотрим поведение данной функции.
1) Если t⩽1, то f(t)⩽0. 2) Если t⩾1, то f(t)⩾0.
Тогда получаем, что:
f(u)=⩽0u3−u2=⩾0v3−v2=f(v). Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:
{f(u)=0,f(v)=0;{u2(u−1)=0,v2(1−v)=0;⎩⎨⎧[u=0,u=1,[v=0,v=1. Выше получили, что v⩾1, тогда
⎩⎨⎧[u=0,u=1,v=1. Рассмотрим случай u=0,v=1: {1−(x+a+1)2=0,2∣x−a∣=1;{(x+a+1)2=1,∣x−a∣=0;{(a+a+1)2=1,x=a;⎩⎨⎧[2a+1=1,2a+1=−1,x=a; ⎩⎨⎧[2a=0,2a=−2,x=a;⎩⎨⎧[a=0,a=−1,x=a. Рассмотрим случай u=1,v=1: {1−(x+a+1)2=1,2∣x−a∣=1;{(x+a+1)2=0,∣x−a∣=0;{x+a+1=0,x=a;{a=−0,5,x=a. Объединяя все случаи, получаем, что a∈{−1;−0,5;0}. \par \medskip
Ответ: a∈{−1;−0,5;0}.
