Показательное уравнение с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГЭ 2024 (резерв)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(1-(x+a+1)^2)^3-(1-(x+a+1)^2)^2=2^{3|x-a|}-2^{2|x-a|}

имеет хотя бы 1 решение.

Решение

Пусть

u=1-(x+a+1)^2

v=2^{|x-a|}

. Уравнение примет вид:

u^3-u^2=v^3-v^2, \quad u^2(u-1)=v^2(v-1).

Заметим, что

(x+a+1)^2\geqslant0

, значит,

1-(x+a+1)^2\leqslant 1

, то есть

u\leqslant1

.
А также

|x-a|\geqslant0

, тогда

2^{|x-a|}\geqslant1

, то есть

v\geqslant1

.
Пусть

f(t)=t^3-t^2=t^2(t-1)

. Рассмотрим поведение данной функции.

1) Если

t\leqslant1

, то

f(t)\leqslant0

.
2) Если

t\geqslant1

, то

f(t)\geqslant0

.

Тогда получаем, что:

f(u)= \underbrace{u^3-u^2}_{\leqslant0} = \underbrace{v^3-v^2}_{\geqslant0} = f(v).

Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

\begin{cases} f(u)=0, \\ f(v)=0; \end{cases} \quad\begin{cases} u^2(u-1)=0, \\ v^2(1-v)=0; \end{cases} \quad\begin{cases} \left[ \begin{gathered} u=0, \\ u=1, \end{gathered}\right. \\[2ex] \left[ \begin{gathered} v=0, \\ v=1. \end{gathered}\right. \\\end{cases}

Выше получили, что

v\geqslant1

, тогда

\begin{cases} \left[ \begin{gathered} u=0, \\ u=1, \end{gathered}\right. \\ v=1.\end{cases}

Рассмотрим случай

u=0

v=1

\begin{cases} 1-(x+a+1)^2=0, \\ 2^{|x-a|}=1; \end{cases} \quad \begin{cases} (x+a+1)^2=1, \\ |x-a|=0; \end{cases} \quad \begin{cases} (a+a+1)^2=1, \\ x=a; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} 2a+1=1, \\ 2a+1=-1, \end{gathered} \right.\\ x=a; \end{cases}

\begin{cases} \left[ \begin{gathered} 2a=0, \\ 2a=-2, \end{gathered} \right.\\ x=a; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} a=0, \\ a=-1, \end{gathered} \right.\\ x=a. \end{cases}

Рассмотрим случай

u=1

v=1

\begin{cases} 1-(x+a+1)^2=1, \\ 2^{|x-a|}=1; \end{cases} \quad \begin{cases} (x+a+1)^2=0, \\ |x-a|=0; \end{cases} \quad \begin{cases} x+a+1=0, \\ x=a; \end{cases} \quad \begin{cases} a=-0,5, \\ x=a.\end{cases}

Объединяя все случаи, получаем, что

a\in \{-1; -0,5; 0\}

. \par \medskip
Ответ:

a\in \{-1; -0,5; 0\}

Похожие задачи