Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Неравенства
ФИПИ
Решите неравенство
2log⁡2(x5)−log⁡2(x1−x)⩽log⁡2(5x2+1x−2).2 \log_2(x\sqrt{5}) - \log_2\left(\frac{x}{1-x}\right) \leqslant \log_2\left(5x^2 + \frac{1}{x} - 2\right).2log2​(x5​)−log2​(1−xx​)⩽log2​(5x2+x1​−2).

Решение

Запишем область допустимых значений:
{x5>0,x1−x>0,5x2+1x−2>0.⇔  {0<x<1,5x2+1x−2>0.\begin{cases}
x\sqrt{5} > 0,\\[3mm]
\dfrac{x}{1-x} > 0,\\[3mm]
5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2 > 0.
\end{cases}
\Leftrightarrow\;
\begin{cases}
0 < x < 1,\\[3mm]
5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2 > 0.
\end{cases}⎩⎨⎧​x5​>0,1−xx​>0,5x2+x1​−2>0.​⇔⎩⎨⎧​0<x<1,5x2+x1​−2>0.​

Сделаем преобразования:
2log⁡2(x5)=log⁡2(x5)2=log⁡2(5x2);2\log_2(x\sqrt{5}) = \log_2(x\sqrt{5})^2 = \log_2(5x^2);2log2​(x5​)=log2​(x5​)2=log2​(5x2);
log⁡2(5x2)−log⁡2(x1−x)=log⁡2(5x2x1−x)=log⁡2(5x2(1−x)x).\log_2(5x^2) - \log_2\left(\frac{x}{1-x}\right) = \log_2\left(\frac{5x^2}{\dfrac{x}{1-x}}\right) = \log_2\left(\frac{5x^2(1-x)}{x}\right).log2​(5x2)−log2​(1−xx​)=log2​​1−xx​5x2​​=log2​(x5x2(1−x)​).
Неравенство принимает вид:
log⁡2(5x2(1−x)x)⩽log⁡2(5x2+1x−2).\log_2\left(\frac{5x^2(1-x)}{x}\right) \leqslant \log_2\left(5x^2 + \frac{1}{x} - 2\right).log2​(x5x2(1−x)​)⩽log2​(5x2+x1​−2).
Воспользуемся методом рационализации. Так как 2>12 > 12>1, то исходное неравенство равносильно следующей системе:
{5x2(1−x)x⩽5x2+1x−2,0<x<1,5x2+1x−2>0.\begin{cases}
\dfrac{5x^2(1-x)}{x} \leqslant 5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2,\\[3mm]
0 < x < 1,\\[3mm]
5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2 > 0.\\[3mm]
\end{cases}⎩⎨⎧​x5x2(1−x)​⩽5x2+x1​−2,0<x<1,5x2+x1​−2>0.​
Заметим, что 5x2(1−x)x>0\dfrac{5x^2(1-x)}{x} > 0x5x2(1−x)​>0 при x∈(0;1)x \in (0; 1)x∈(0;1). Поэтому последнее неравенство системы выполнено, если выполнены первые два. Получаем:
{5x2(1−x)x⩽5x2+1x−2,0<x<1.\begin{cases}
\dfrac{5x^2(1-x)}{x} \leqslant 5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2,\\[3mm]
0 < x < 1.\\
\end{cases}⎩⎨⎧​x5x2(1−x)​⩽5x2+x1​−2,0<x<1.​
Решим первое неравенство системы:
5x2−5x3−5x3−1+2xx⩽0;\frac{5x^2 - 5x^3 - 5x^3 - 1 + 2x}{x} \leqslant 0;x5x2−5x3−5x3−1+2x​⩽0;
5x2−10x3−1+2xx⩽0.\frac{5x^2 - 10x^3 - 1 + 2x}{x} \leqslant 0.x5x2−10x3−1+2x​⩽0.

Разложим числитель на множители:
5x2−10x3−1+2x=5x2⋅(1−2x)−(1−2x)=(1−2x)(5x2−1)=5x^2 - 10x^3 - 1 + 2x = 5x^2 \cdot (1 - 2x) - (1 - 2x) = (1 - 2x)(5x^2 - 1) =5x2−10x3−1+2x=5x2⋅(1−2x)−(1−2x)=(1−2x)(5x2−1)=
=10⋅(12−x)(x−15)(x+15).= 10 \cdot \left(\frac{1}{2} - x\right) \left(x - \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(x + \frac{1}{\sqrt{5}}\right).=10⋅(21​−x)(x−5​1​)(x+5​1​).
Получаем:
10(12−x)(x−15)(x+15)x⩽0.\dfrac{10\left(\dfrac{1}{2} - x\right)\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)}{x} \leqslant 0.x10(21​−x)(x−5​1​)(x+5​1​)​⩽0.
Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
Изображение 2

Пересекая решения неравенства с ОДЗ, получаем окончательный ответ: x∈(0;15]∪[12;1)x\in \left(0;\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup \left[\dfrac{1}{2};1\right)x∈(0;5​1​]∪[21​;1).
Изображение 1


Ответ: (0;15]∪[12;1)\left(0;\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup \left[\dfrac{1}{2};1\right)(0;5​1​]∪[21​;1).