Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Неравенства

ФИПИ

Решите неравенство

2 \log_2(x\sqrt{5}) - \log_2\left(\frac{x}{1-x}\right) \leqslant \log_2\left(5x^2 + \frac{1}{x} - 2\right).

Решение

Запишем область допустимых значений:

\begin{cases} x\sqrt{5} > 0,\\[3mm] \dfrac{x}{1-x} > 0,\\[3mm] 5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2 > 0.\end{cases}\Leftrightarrow\;\begin{cases} 0 < x < 1,\\[3mm] 5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2 > 0.\end{cases}

Сделаем преобразования:

2\log_2(x\sqrt{5}) = \log_2(x\sqrt{5})^2 = \log_2(5x^2);

\log_2(5x^2) - \log_2\left(\frac{x}{1-x}\right) = \log_2\left(\frac{5x^2}{\dfrac{x}{1-x}}\right) = \log_2\left(\frac{5x^2(1-x)}{x}\right).

Неравенство принимает вид:

\log_2\left(\frac{5x^2(1-x)}{x}\right) \leqslant \log_2\left(5x^2 + \frac{1}{x} - 2\right).

Воспользуемся методом рационализации. Так как

2 > 1

, то исходное неравенство равносильно следующей системе:

\begin{cases} \dfrac{5x^2(1-x)}{x} \leqslant 5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2,\\[3mm] 0 < x < 1,\\[3mm] 5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2 > 0.\\[3mm] \end{cases}

Заметим, что

\dfrac{5x^2(1-x)}{x} > 0

при

x \in (0; 1)

. Поэтому последнее неравенство системы выполнено, если выполнены первые два. Получаем:

\begin{cases} \dfrac{5x^2(1-x)}{x} \leqslant 5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2,\\[3mm] 0 < x < 1.\\ \end{cases}

Решим первое неравенство системы:

\frac{5x^2 - 5x^3 - 5x^3 - 1 + 2x}{x} \leqslant 0;

\frac{5x^2 - 10x^3 - 1 + 2x}{x} \leqslant 0.

Разложим числитель на множители:

5x^2 - 10x^3 - 1 + 2x = 5x^2 \cdot (1 - 2x) - (1 - 2x) = (1 - 2x)(5x^2 - 1) =

= 10 \cdot \left(\frac{1}{2} - x\right) \left(x - \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(x + \frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Получаем:

\dfrac{10\left(\dfrac{1}{2} - x\right)\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)}{x} \leqslant 0.

Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:

$Изображение 2$

Пересекая решения неравенства с ОДЗ, получаем окончательный ответ:

x\in \left(0;\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup \left[\dfrac{1}{2};1\right)

$Изображение 1$

Ответ:

\left(0;\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup \left[\dfrac{1}{2};1\right)

Похожие задачи