Постройте график функции y=x2−9x−2∣x−4∣+20. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+−4=0⇒x=4.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<4. Получаем y=x2−7x+12.
Случай 2: x⩾4. Получаем y=x2−11x+28.
Таким образом: y={x2−7x+12,x2−11x+28,x<4,x⩾4. Вершина левой ветви: (3,5;−0,25), вершина правой ветви: (5,5;−2,25). Таблица значений для левой ветви:
x:2,3,4 y:2,0,0
Таблица значений для правой ветви:
x:4,5,6,7 y:0,−2,−2,0
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{−0,25}∪{0}.
