Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Экономические задачиЕГЭ 2025 (досрок)

Строительство нового завода стоит

159

млн рублей. Затраты на производство

x

тыс. ед. продукции на таком заводе равны

0,5 x^2+2 x+6

млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене

p

тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит

p x-\left(0,5 x^2+2 x+6\right)

. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год

p = 10

, а далее каждый год возрастает на

1

. За сколько лет окупится строительство?

Решение

Будем искать ежегодную прибыль фирмы при условии максимизации прибыли и увеличения

p

на

1

каждый год:

1) Прибыль за первый год равна

S_1 = 10x - (0,5x^2 + 2x + 6) = -0,5x^2 + 8x - 6 \text{ млн рублей.}

Мы получили квадратичную функцию, графиком её является парабола с ветвями вниз. Значит, наибольшее значение достигается в вершине параболы.

x_{\text{в}} = \dfrac{-8}{-1} = 8

.

Вычислим его:

S_{1\,наиб}=S_1(8) = -0,5\cdot 64 + 64 - 6 = 26 \text{ млн рублей.}

2) Прибыль за второй год равна

S_2 = 11x - (0,5x^2 + 2x + 6) = -0,5x^2 + 9x - 6 \text{ млн рублей.}

x_{\text{в}} = \dfrac{-9}{-1} = 9

.

Вычислим его:

S_{2\,наиб}=S_2(9) = -0,5\cdot 81 + 81 - 6 = 34,5\,млн\,рублей.

3) Прибыль за третий год равна

S_3 = 12x - (0,5x^2 + 2x + 6) = -0,5x^2 + 10x - 6 \text{ млн рублей.}

x_{\text{в}} = \dfrac{-10}{-1} = 10

.

Вычислим его:

S_{3\,наиб}=S_3(10) = -0,5\cdot 100 + 100 - 6 = 44 \text{ млн рублей.}

4) Прибыль за четвёртый год равна

S_4 = 13x - (0,5x^2 + 2x + 6) = -0,5x^2 + 11x - 6 \text{ млн рублей.}

x_{\text{в}} = \dfrac{-11}{-1} = 11

.

Вычислим его:

S_{4\,наиб}=S_4(11) = -0,5\cdot 121 + 121 - 6 = 54,5 \text{ млн рублей.}

Прибыль за первые 4 года равна

S_{1\,наиб} + S_{2\,наиб} + S_{3\,наиб} + S_{4\,наиб} = 26 + 34,5 + 44 + 54,5 = 159\,млн \,рублей.

Значит, строительство окупится за первые

4

года.

Ответ:

4

года.

Похожие задачи