Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x2+2x+6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px−(0,5x2+2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год p=10, а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?
Решение
Будем искать ежегодную прибыль фирмы при условии максимизации прибыли и увеличения p на 1 каждый год:
1) Прибыль за первый год равна
S1=10x−(0,5x2+2x+6)=−0,5x2+8x−6млнрублей. Мы получили квадратичную функцию, графиком её является парабола с ветвями вниз. Значит, наибольшее значение достигается в вершине параболы. xв=−1−8=8.
Вычислим его:
S1наиб=S1(8)=−0,5⋅64+64−6=26млнрублей. 2) Прибыль за второй год равна
S2=11x−(0,5x2+2x+6)=−0,5x2+9x−6млнрублей. Мы получили квадратичную функцию, графиком её является парабола с ветвями вниз. Значит, наибольшее значение достигается в вершине параболы. xв=−1−9=9.
Вычислим его:
S2наиб=S2(9)=−0,5⋅81+81−6=34,5млнрублей. 3) Прибыль за третий год равна
S3=12x−(0,5x2+2x+6)=−0,5x2+10x−6млнрублей. Мы получили квадратичную функцию, графиком её является парабола с ветвями вниз. Значит, наибольшее значение достигается в вершине параболы. xв=−1−10=10.
4) Прибыль за четвёртый год равна
S4=13x−(0,5x2+2x+6)=−0,5x2+11x−6млнрублей. Мы получили квадратичную функцию, графиком её является парабола с ветвями вниз. Значит, наибольшее значение достигается в вершине параболы. xв=−1−11=11.
Вычислим его:
S4наиб=S4(11)=−0,5⋅121+121−6=54,5млнрублей. Прибыль за первые 4 года равна
S1наиб+S2наиб+S3наиб+S4наиб=26+34,5+44+54,5=159млнрублей.
