Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение
Пусть M — середина AB. Продлим биссектрису DM до пересечения с прямой BC в точке P. Из параллельности оснований и равенства углов при биссектрисе получаем ∠CPD=∠CDP, значит PC=CD=41. Тогда PB=PC−BC=41−16=25. Треугольники PBM и DAM подобны, а AM=MB, поэтому AD=PB=25. Проведём CE∥AB,E∈AD. Тогда ABCE — параллелограмм: CE=AB=40,AE=BC=16. Следовательно, ED=AD−AE=9. По данным CE2+ED2=402+92=412=CD2, поэтому CE — высота трапеции. Тогда S=2AD+BC⋅CE=225+16⋅40=820.
