Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{36−y2=36−a2x2,x2+y2=2x+6y имеет ровно два различных решения.
Решение
Первое уравнение равносильно следующей системе:
{36−y2⩾0,36−y2=36−a2x2. Преобразуем второе уравнение системы, выделяя полные квадраты:
x2+y2=2x+6y⇒(x2−2x)+(y2−6y)=0⇒(x−1)2+(y−3)2=10. Таким образом, исходная система равносильна следующей:
⎩⎨⎧y2=a2x2,y2⩽36,(x−1)2+(y−3)2=10. Проанализируем каждое выражение системы:
1)
y2=a2x2⇒(y−ax)(y+ax)=0. Уравнения y=ax и y=−ax задают пучок прямых (кроме прямой x=0), проходящих через точку (0;0). 2)
y2⩽36⇒(y−6)(y+6)⩽0. Данное неравенство задаёт область между прямыми y=−6 и y=6, включая границы.
3) Уравнение (x−1)2+(y−3)2=10 задаёт окружность с центром в точке (1;3) и радиусом 10.
Задача сводится к нахождению значений a, при которых объединение двух прямых пересекает окружность ровно в двух точках, лежащих внутри полосы −6⩽y⩽6. Окружность проходит через точку (0;0), так как
(0−1)2+(0−3)2=1+9=10, значит, прямые всегда пересекают окружность в точке (0;0).
Заметим, что система симметрична относительно a (то есть она имеет одинаковые решения при a и −a), поэтому нам достаточно рассмотреть случай a⩾0.
В осях Oxy получаем:
Найдем точки пересечения окружности с границами полосы y=6. Подставим y=6 в уравнение окружности:
(x−1)2+(6−3)2=10⇒(x−1)2+9=10⇒(x−1)2=1⇒[x=0,x=2. (I) Найдём значение параметра a, при котором прямая y=ax проходит через точку (2;6): 6=a⋅2⇒a=3.
(II) Найдём значение параметра a, при котором прямая y=−ax имеет одну точку пересечения с окружностью, то есть касается её:
(x−1)2+(−ax−3)2=10; x2−2x+1+a2x2+6ax+9=10; (1+a2)x2+(6a−2)x=0. Это уравнение имеет одно решение при
6a−2=0⇒a=31.
(III) При a=0 прямые y=ax и y=−ax совпадают.
Таким образом,
1) при a∈(−3;−31)∪(−31;0)∪(0;31)∪(31;3) система имеет 3 различных решения;
2) при a∈{0,±31}∪(−∞;−3)∪(3;+∞) система имеет 2 различных решения.
