Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x2+8x+16−a29x2−a2=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Уравнение равносильно системе:
{9x2−a2=0,x2+8x+16−a2=0. Решим первое уравнение:
9x2=a2⇒x2=3a2⇒x=±3a. Второе условие:
x2+8x+16=a2⇒(x+4)2=a2⇒x+4=aиx+4=−a. То есть x=a−4 и x=−a−4.
Исходное уравнение имеет два корня, если корни числителя не совпадают и не равны корням знаменателя.
Корни числителя совпадают при a=0. Рассмотрим случаи, когда корни числителя совпадают с корнями знаменателя:
