Показательное уравнение с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 23.04.2025

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

9^x-3^x \cdot (4^a+4) = 3^x \cdot (16-2^a) + (4^a+4)(2^a-16)

имеет единственное решение.

Решение

Преобразуем уравнение:

9^x-3^x \cdot (4^a+4) - 3^x \cdot (16-2^a) - (4^a+4)(2^a-16) = 0;

9^x-3^x \cdot (4^a+4) + 3^x \cdot (2^a-16) - (4^a+4)(2^a-16) = 0;

3^x(3^x- (4^a+4)) + (2^a-16)(3^x-(4^a+4)) =0;

(3^x- (4^a+4))(3^x+2^a-16)=0.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[ \begin{gathered} 3^x = 4^a+4, \ \\ 3^x = 16-2^a.\end{gathered}\right.

Рассмотрим первое уравнение. Поскольку

4^a+4>0

при любом

a

, это уравнение всегда имеет единственное решение.

Рассмотрим первое уравнение. Так как

3^x

при любом

x

, то уравнение имеет решение только при

16-2^a > 0

, то есть при

a<4

. При этом решение единственно, поскольку функция

y=3^x

строго монотонна.

Пусть

x_1

x_2

-- корни первого и второго уравнения соответственно. Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение в следующих случаях:

1.

x_1 = x_2

. то есть значения

4^a+4

16-2^a

совпадают:

4^a+4 = 16-2^a;

4^a+2^a -12 =0;

Пусть

2^a = t

тогда

t^2+t-12 =0.

Решая полученное квадратное уравнение, находим

t_1 = 3, \ t_2 = -4.

Таким образом,

\left[ \begin{gathered} 2^a = 3, \ \\ 2^a = -4~-~нет~решений . \end{gathered} \right. \Rightarrow a = \log_23.

2. Второе уравнение системы не имеет решений. Это происходит при

a \geq 4

Ответ:

\{ \log_2 3\} \cup [4; + \infty)

Похожие задачи