Для существования неравенства необходимо выполнение условия x>0.
Преобразуем неравенство с помощью формулы логарифма произведения:
log3x−4log381+log3x+log381+log3xlog3x−4⩾log32x−1624−log3x8. Так как x>0, то
log3x−44+log3x+4+log3xlog3x−4⩾log32x−1624−8log3x. Сделаем замену log3x=t: t−44+t+4+tt−4⩾t2−1624−8t; (t−4)(t+4)(t+4)2+(t−4)2⩾(t−4)(t+4)8(3−t); (t−4)(t+4)(t2+8t+16)+(t2−8t+16)⩾−(t−4)(t+4)8(t−3); (t−4)(t+4)2(t2+16)⩾−(t−4)(t+4)8(t−3); (t−4)(t+4)2(t2+16)+(t−4)(t+4)8(t−3)⩾0; (t−4)(t+4)2(t2+16)+8(t−3)⩾0; (t−4)(t+4)2t2+32+8t−24⩾0; (t−4)(t+4)2(t2+4t+4)⩾0; (t−4)(t+4)2(t+2)2⩾0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
