Для существования неравенства необходимо выполнение условия x>0.
Преобразуем неравенство с помощью формулы логарифма произведения:log3x−4log381+log3x+log381+log3xlog3x−4⩾log32x−1624−log3x8.Так как x>0, тоlog3x−44+log3x+4+log3xlog3x−4⩾log32x−1624−8log3x.Сделаем замену log3x=t:t−44+t+4+tt−4⩾t2−1624−8t;(t−4)(t+4)(t+4)2+(t−4)2⩾(t−4)(t+4)8(3−t);(t−4)(t+4)(t2+8t+16)+(t2−8t+16)⩾−(t−4)(t+4)8(t−3);(t−4)(t+4)2(t2+16)⩾−(t−4)(t+4)8(t−3);(t−4)(t+4)2(t2+16)+(t−4)(t+4)8(t−3)⩾0;(t−4)(t+4)2(t2+16)+8(t−3)⩾0;(t−4)(t+4)2t2+32+8t−24⩾0;(t−4)(t+4)2(t2+4t+4)⩾0;(t−4)(t+4)2(t+2)2⩾0.Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
Получаем:t∈(−∞;−4)∪{−2}∪(4;+∞).Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью логарифма:log3x<−4,log3x=−2,log3x>4.⇒log3x<log3811,log3x=log391,log3x>log381.⇒0<x<811,x=91,x>81.Получаем: x∈(0;811)∪{91}∪(81;+∞).
