В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AC равна 16, высота SH равна 9. Точка K — середина бокового ребра SA, а точка N — середина ребра BC. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что прямая QP пересекает отрезок SN в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AQP.
Решение
а)
Боковые грани пирамиды пересекают плоскости KPQ и ABC по параллельным прямым, то есть KP∥AC,KQ∥AB и PQ∥BC. Тогда по теореме Фалеса P --- середина SC и Q --- середина SB. Так как PQ∥BC и PQ --- средняя линия △SBC, то T --- середина SN. Что и требовалось доказать.
б) Так как KPQ∥ABC, то ∠(APQ;ABC)=∠(APQ;KPQ). Заметим, что ST⊥PQ (△SPQ --- равнобедренный) и KT⊥PQ (△KPQ --- равносторонний), следовательно, KST⊥PQ, значит ∠ATK --- искомый угол.
Рассмотрим плоскость SAN:
Проведём TW∥SH⇒TW=21SH=29. Так как H --- основание высоты правильной пирамиды, то HNAH=12. AN --- высота правильного треугольника ABC, значит
AN=2AC3=83. Точка W --- середина HN. Пусть AH=4x,HN=2x, тогда HW=WN=x, то есть
AN=6x=83⇔x=343. Таким образом,
∠KTA=∠TAW, то есть tg∠TAW=AWTW=320329=40327=4093; ∠TAW=arctg4093. Значит, угол между плоскостями ABC и APQ равен arctg4093.
