Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
СтатГрад 22.04.2026
Скопировать ссылку
f45e1636
Решите неравенство
2
log
2
(
log
2
2
x
)
+
2
log
2
(
2
x
)
⩽
2.
2^{\log_2(\log_2^2 x)} + \frac{2}{\log_2(2x)} \leqslant 2.
2
l
o
g
2
(
l
o
g
2
2
x
)
+
lo
g
2
(
2
x
)
2
⩽
2.
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
По свойству логарифма:
log
2
(
2
x
)
=
log
2
2
+
log
2
x
=
1
+
log
2
x
.
\log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x.
lo
g
2
(
2
x
)
=
lo
g
2
2
+
lo
g
2
x
=
1
+
lo
g
2
x
.
По основному логарифмическому тождеству:
2
log
2
(
log
2
2
x
)
=
log
2
2
x
,
при
log
2
2
x
>
0.
2^{\log_2(\log_2^2 x)} = \log_2^2 x, \quad \text{при } \log_2^2 x > 0.
2
l
o
g
2
(
l
o
g
2
2
x
)
=
lo
g
2
2
x
,
при
lo
g
2
2
x
>
0.
Получим, что
log
2
x
≠
0
\log_2 x \neq 0
lo
g
2
x
=
0
,
следовательно,
x
>
0
x > 0
x
>
0
и
x
≠
1
x \neq 1
x
=
1
.
Неравенство примет вид:
log
2
2
x
+
2
log
2
x
+
1
−
2
⩽
0.
\log_2^2 x + \frac{2}{\log_2 x + 1} - 2 \leqslant 0.
lo
g
2
2
x
+
lo
g
2
x
+
1
2
−
2
⩽
0.
Пусть
t
=
log
2
x
t = \log_2 x
t
=
lo
g
2
x
,
тогда:
t
2
+
2
t
+
1
−
2
⩽
0
;
t^2 + \frac{2}{t+1} - 2 \leqslant 0;
t
2
+
t
+
1
2
−
2
⩽
0
;
t
3
+
t
2
+
2
−
2
t
−
2
t
+
1
⩽
0
;
\frac{t^3 + t^2 + 2 - 2t - 2}{t+1} \leqslant 0;
t
+
1
t
3
+
t
2
+
2
−
2
t
−
2
⩽
0
;
t
3
+
t
2
−
2
t
t
+
1
⩽
0
;
\frac{t^3 + t^2 - 2t}{t+1} \leqslant 0;
t
+
1
t
3
+
t
2
−
2
t
⩽
0
;
t
(
t
2
+
t
−
2
)
t
+
1
⩽
0
;
\frac{t(t^2+t-2)}{t+1} \leqslant 0;
t
+
1
t
(
t
2
+
t
−
2
)
⩽
0
;
t
(
t
−
1
)
(
t
+
2
)
t
+
1
⩽
0.
\frac{t(t-1)(t+2)}{t+1} \leqslant 0.
t
+
1
t
(
t
−
1
)
(
t
+
2
)
⩽
0.
t
∈
[
−
2
;
−
1
)
∪
[
0
;
1
]
.
t \in [-2; -1) \cup [0; 1].
t
∈
[
−
2
;
−
1
)
∪
[
0
;
1
]
.
Вернёмся к замене:
[
−
2
⩽
log
2
x
<
−
1
,
0
⩽
log
2
x
⩽
1
;
[
1
4
⩽
x
<
1
2
,
1
⩽
x
⩽
2.
\left[
\begin{aligned}
-2 &\leqslant \log_2 x < -1, \\
0 &\leqslant \log_2 x \leqslant 1;
\end{aligned}
\right.
\quad
\left[
\begin{aligned}
\frac{1}{4} &\leqslant x < \frac{1}{2}, \\
1 &\leqslant x \leqslant 2.
\end{aligned}
\right.
[
−
2
0
⩽
lo
g
2
x
<
−
1
,
⩽
lo
g
2
x
⩽
1
;
4
1
1
⩽
x
<
2
1
,
⩽
x
⩽
2.
С учётом
x
>
0
x > 0
x
>
0
и
x
≠
1
x \neq 1
x
=
1
получим:
x
∈
[
1
4
;
1
2
)
∪
(
1
;
2
]
.
x \in \left[\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right) \cup (1; 2].
x
∈
[
4
1
;
2
1
)
∪
(
1
;
2
]
.
Ответ:
[
1
4
;
1
2
)
∪
(
1
;
2
]
.
\left[\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2}\right) \cup (1; 2].
[
4
1
;
2
1
)
∪
(
1
;
2
]
.
