Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{x^{4}-10x^{2}+9}{(x-3)(x+1)}.

Определите, при каких значениях

c

прямая

y=c

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Функция определена при

x\neq -1

x\neq 3

.

Разложим на множители выражение в числителе функции:

x^{4}-10x^{2}+9=(x^{2}-9)(x^{2}-1)=(x-3)(x+3)(x-1)(x+1).

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

y\mathrel{=}

Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотыми точками.

Для нахождения координат выколотых точек подставим запрещённые абсциссы в формулу

y=x^{2}+2x-3

y(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)-3=-4.

y(3)=3^2+2\cdot3-3=12.

Следовательно, выколотые точки:

(-1; -4)

(3; 12)

.

Для параболы

y=x^{2} + 2 x - 3

имеем

a=1

b=2

c=-3

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\cdot(1)}=-1.

y_0=1\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)-3=-4.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-1; -4)

.

Таблица значений для

y=x^{2} + 2 x - 3

(с учетом выколотых точек):

График функции:

Прямая

y=c

— горизонтальная прямая. Ровно одна общая точка получается на уровне вершины параболы и на уровнях выколотых точек.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

c \in \{12\}

Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи