Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
Ответ:
Решение
1) Пусть внутренняя общая касательная касается окружностей в точках T и S и пересекает линию центров PQ в точке X так, как показано на чертеже.
2) Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: PT⊥XS и QS⊥XT. Поэтому треугольники PXT и QXS прямоугольные.
3) Угол при X у этих треугольников равен, так как он образован одной касательной и одной прямой центров. Следовательно, △PXT∼△QXS.
4) Из подобия QSPT=QXPX. По условию PX:QX=a:b, значит радиусы относятся как a:b. Диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры окружностей тоже относятся как a:b.
