Юра и Полина играют в числа. Полина выбирает несколько различных
натуральных чисел от 25 до 75 включительно и находит их произведение
(если выбрано только одно число, то произведением считается само это
число). Юра к каждому числу, выбранному Полиной, прибавляет единицу
и находит произведение полученных чисел.
a) Может ли результат у Юры оказаться в два раза больше, чем у Полины?
б) Может ли результат у Юры оказаться в пять раз больше, чем у Полины?
в) В какое наибольшее целое число раз результат у Юры может быть больше, чем результат у Полины?
Решение
а) Да, если Полина выберет числа 25,26,...,49, тогда у Юры будут числа 26,27,...,50, а результат будет равен 2.
б) Рассмотрим два подряд идущих числа x и x+1. Заметим, что xx+1=1+x1>1, значит, каждое дополнительно взятое число увеличивает отношение.
Таким образом, наибольшее значение отношения будет достигаться, если Полина возьмёт все числа от 25 до 75, тогда у Юры будут числа от 26 до 76. Получаем, что:
25⋅26⋅...⋅7526⋅27⋅...⋅76=2576=3251<5. Следовательно, отношения, равного 5, быть не может.
в) Приведём пример отношения, равного 3. Пусть Полина взяла числа от 25 до 74, тогда числа Юры будут от 26 до 75, тогда их отношение будет равно:
25⋅26⋅...⋅7426⋅27⋅...⋅75=2575=3. Ответ: а) да, б) нет, в) 3.
