Найдите все значения a, при каждом из которых система
{∣x−a∣+2∣y−a∣=5,xy−x−y+1=0 имеет ровно три различных решения.
Решение
Рассмотрим первое уравнение системы при a=0:∣x∣+2∣y∣=5. Построим его график в Oxy.
1) x≥0,y≥0 получим: x+2y=5,y=25−x;
2) x≥0,y<0 получим: x−2y=5,y=2x−5;
3) x<0,y≥0 получим: −x+2y=5,y=25+x;
4) x<0,y<0 получим: −x−2y=5,y=2−x−5;
Графиком уравнения ∣x∣+2∣y∣=5 является ромб с центром (0;0) и диагоналями 10 и 5.
Тогда уравнение ∣x−a∣+2∣y−a∣=5 задаёт ромб с центром (a;a) и диагоналями 10 и 5. При изменении a ромб будет перемещаться вдоль прямой y=x. Рассмотрим второе уравнение системы:
xy−x−y+1=0. Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:
(xy−x)−(y−1)=0,x(y−1)−(y−1)=0,(x−1)(y−1)=0. Получим x=1 или y=1 -- это две прямых: вертикальная и горизонтальная, пересекающиеся в точке (1;1). Количество решений системы при каждом a совпадает с количеством точек пересечения ромба с парой прямых x=1,y=1.
Рассмотрим несколько интересных положений ромба:
(I) правая вершина лежит на прямой x=1 -- 1 решение;
(II) верхняя вершина лежит на прямой y=1 -- 3 решения;
между (I) и (II) -- 2 решения;
(III) точка (1;1) лежит на верхней правой стороне -- 3 решения;
между (II) и (III) -- 4 решения;
(IV) точка (1;1) лежит на нижней левой стороне -- 3 решения;
между (III) и (IV)-- 4 решения;
(V)нижняя вершина лежит на прямой y=1 -- 3 решения;
между (IV) и (V}) -- 4 решения;
(VI)левая вершина лежит на прямой x=1 -- 1 решение;
между (V) и (VI) -- 2 решения;
ниже положения (I), а также выше положения (VI) -- 0 решений.
Следовательно, три решения будет в положениях (II), (III), (IV) и (V). Найдём соответствующие им значения a.
II) Верхняя вершина ромба имеет координаты (a;a+2,5) и лежит на y=1, тогда: a+2,5=1,a=−1,5. III) Уравнение нужной стороны ромба получим, если x−a≥0,y−a≥0:(x−a)+2(y−a)=5,x−a+2y−2a=5,x+2y−3a=5. Подставим (1;1): 1+2−3a=5,3a=−2,a=−32. IV) Уравнение нужной стороны ромба получим, если x−a<0,y−a<0:−(x−a)−2(y−a)=5,−x−2y+3a=5. Подставим (1;1): −1−2+3a=5,3a=8,a=38. V) Нижняя вершина ромба имеет координаты (a;a−2,5) и лежит на y=1, тогда: a−2,5=1,a=3,5.
