Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026СтатГрад 17.05.2019

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система

\begin{cases} |x - a| + 2|y - a| = 5, \\ xy - x - y + 1 = 0\end{cases}

имеет ровно три различных решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы при

a=0

|x|+2|y|=5

.
Построим его график в

Oxy

.

1)

x\ge0

y\ge0

получим:

x+2y=5

y=\dfrac{5-x}{2}

;

$Изображение 1$

x\ge0

y<0

получим:

x-2y=5

y=\dfrac{x-5}{2}

;

$Изображение 2$

x<0

y\ge0

получим:

-x+2y=5

y=\dfrac{5+x}{2}

;

$Изображение 3$

x<0

y<0

получим:

-x-2y=5

y=\dfrac{-x-5}{2}

;

$Изображение 4$

Графиком уравнения

|x|+2|y|=5

является ромб с центром

(0;0)

и диагоналями 10 и 5.

$Изображение 5$

Тогда уравнение

|x-a|+2|y-a|=5

задаёт ромб с центром

(a;a)

и диагоналями 10 и 5. При изменении

a

ромб будет перемещаться вдоль прямой

y=x

.
Рассмотрим второе уравнение системы:

xy-x-y+1=0.

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:

(xy-x)-(y-1)=0, \quad x(y-1)-(y-1)=0, \quad (x-1)(y-1)=0.

Получим

x=1

или

y=1

-- это две прямых: вертикальная и горизонтальная, пересекающиеся в точке

(1;1)

.
Количество решений системы при каждом

a

совпадает с количеством точек пересечения ромба с парой прямых

x=1

y=1

Interactive background for parameters-2026:14.5

Рассмотрим несколько интересных положений ромба:
(I) правая вершина лежит на прямой

x=1

-- 1 решение;
(II) верхняя вершина лежит на прямой

y=1

-- 3 решения;
между (I) и (II) -- 2 решения;
(III) точка

(1;1)

лежит на верхней правой стороне -- 3 решения;
между (II) и (III) -- 4 решения;
(IV) точка

(1;1)

лежит на нижней левой стороне -- 3 решения;
между (III) и (IV)-- 4 решения;
(V)нижняя вершина лежит на прямой

y=1

-- 3 решения;
между (IV) и (V}) -- 4 решения;
(VI)левая вершина лежит на прямой

x=1

-- 1 решение;
между (V) и (VI) -- 2 решения;
ниже положения (I), а также выше положения (VI) -- 0 решений.
Следовательно, три решения будет в положениях (II), (III), (IV) и (V). Найдём соответствующие им значения

a

.

II) Верхняя вершина ромба имеет координаты

(a;a+2,5)

и лежит на

y=1

, тогда:

a+2,5=1, \quad a=-1,5.

III) Уравнение нужной стороны ромба получим, если

x-a\ge0, \ y-a\ge0

(x-a)+2(y-a)=5, \quad x-a+2y-2a=5, \quad x+2y-3a=5.

Подставим

(1;1)

1+2-3a=5, \quad 3a=-2, \quad a=-\dfrac{2}{3}.

IV) Уравнение нужной стороны ромба получим, если

x-a<0, \ y-a<0

-(x-a)-2(y-a)=5, \quad -x-2y+3a=5.

Подставим

(1;1)

-1-2+3a=5, \quad 3a=8, \quad a=\dfrac{8}{3}.

V) Нижняя вершина ромба имеет координаты

(a;a-2,5)

и лежит на

y=1

, тогда:

a-2,5=1, \quad a=3,5.

Ответ:

a\in\left\{-1,5; -\dfrac{2}{3}; \dfrac{8}{3}; 3,5\right\}

Static parameter plot for parameters-2026:14.5

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи