Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{x2+y2−4(a+1)x−2ay+5a2+8a+3=0,y2=x2 имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Система равносильна совокупности двух систем:
{y=x,x2+y2−4(a+1)x−2ay+5a2+8a+3=0;(1){y=−x,x2+y2−4(a+1)x−2ay+5a2+8a+3=0.(2) Исходная система имеет 4 различных решения, когда (1) и (2) имеют два различных решения и они различны между собой. Общим решением систем может быть только точка (0;0), так как тогда верно, что x=−x и y=−y.
(1) имеет два различных решения, если квадратное уравнение
x2+x2−4(a+1)x−2ax+5a2+8a+3=0 имеет два решения. Получаем:
2x2−(6a+4)x+5a2+8a+3=0;D=(6a+4)2−4⋅2⋅(5a2+8a+3)>0⇒D=−4(a2+4a+2)>0;a2+4a+2<0. Найдём корни уравнения a2+4a+2=0: a1,2=2−4±42−4⋅2=−2±2. Следовательно, (1) имеет два различных решения при
a∈(−2−2;−2+2). (2) имеет два различных решения, если квадратное уравнение
x2+(−x)2−4(a+1)x−2a(−x)+5a2+8a+3=0 имеет два решения. Получаем:
2x2−2(a+2)x+5a2+8a+3=0;D=(2(a+2))2−4⋅2⋅(5a2+8a+3)>0⇒D=−4(9a2+12a+2)>0;9a2+12a+2<0. Найдём корни уравнения 9a2+12a+2=0: a3,4=2−12±122−4⋅9⋅4=3−2±2. Следовательно, (2) имеет два различных решения при
a∈(3−2−2,3−2+2). Выясним, когда системы (1) и (2) имеют корень (0;0): 02+02−4(a+1)⋅0−2a⋅0+5a2+8a+3=0;5a2+8a+3=0;a=−53,a=−1. Заметим, что
−2−2<3−2−2<3−2−1=−1. Сравним числа −53 и −2+2: −53∨−2+2;2−2∨53;10−52∨3;7∨52;49<50. Значит, −53<−2+2.
Значит, исходная система имеет 4 различных решения при
a∈(3−2−2,−1)∪(−1;−53)∪(−53;−2−2).
