Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}x^2+y^2-4(a+1) x-2 a y+5 a^2+8 a+3=0, \\y^2=x^2\end{cases}

имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Система равносильна совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} y = x, \\[1mm] x^2 + y^2 - 4(a+1)x - 2ay + 5a^2 + 8a + 3 = 0; \end{cases} \quad\quad\quad (1) \\ &\begin{cases} y = -x, \\ x^2 + y^2 - 4(a+1)x - 2ay + 5a^2 + 8a + 3 = 0. \end{cases} \quad\quad\quad (2) \end{aligned} \right.

Исходная система имеет

4

различных решения, когда

(1)

(2)

имеют два различных решения и они различны между собой. Общим решением систем может быть только точка

(0; 0)

, так как тогда верно, что

x = -x

y = -y

(1)

имеет два различных решения, если квадратное уравнение

x^2 + x^2 - 4(a+1)x - 2a x + 5a^2 + 8a + 3 = 0

имеет два решения. Получаем:

2x^2 - (6a+4)x + 5a^2 + 8a + 3 = 0;\\ D = (6a+4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5a^2+8a+3) > 0\quad\Rightarrow\quad D = -4(a^2+4a+2) > 0;\\ a^2 + 4a + 2 < 0.

Найдём корни уравнения

a^2 + 4a + 2 = 0

a_{1, 2} = \dfrac{-4 \pm\sqrt{4^2 - 4\cdot 2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}.

Следовательно,

(1)

имеет два различных решения при

a \in (-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}).

(2)

имеет два различных решения, если квадратное уравнение

x^2 + (-x)^2 - 4(a+1)x - 2a(-x) + 5a^2 + 8a + 3 = 0

имеет два решения. Получаем:

2x^2 - 2(a+2)x + 5a^2 + 8a + 3 = 0;\\ D = (2(a+2))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5a^2+8a+3) > 0\quad\Rightarrow\quad D = -4(9a^2+12a+2) > 0;\\ 9a^2 + 12a + 2 < 0.

Найдём корни уравнения

9a^2 + 12a + 2 = 0

a_{3, 4} = \dfrac{-12 \pm\sqrt{12^2 - 4\cdot 9\cdot 4}}{2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2}}{3}.

Следовательно,

(2)

имеет два различных решения при

a \in \left( \dfrac{-2-\sqrt{2}}{3},\; \dfrac{-2+\sqrt{2}}{3} \right).

Выясним, когда системы

(1)

(2)

имеют корень

(0; 0)

0^2 + 0^2 - 4(a+1)\cdot0 - 2a\cdot 0 + 5a^2 + 8a + 3 = 0;\\ 5a^2 + 8a + 3 = 0;\\ a = -\frac{3}{5}, \quad a = -1.

Заметим, что

-2 - \sqrt{2} < \dfrac{-2-\sqrt{2}}{3} < \dfrac{-2 - 1}{3} = -1.

Сравним числа

-\dfrac{3}{5}

-2+\sqrt{2}

-\dfrac{3}{5} \vee -2+\sqrt{2};\\ 2 - \sqrt{2} \vee \dfrac{3}{5};\\ 10 - 5\sqrt{2} \vee 3;\\ 7 \vee 5\sqrt{2};\\ 49 < 50.

Значит,

-\dfrac{3}{5} < -2 + \sqrt{2}

.

Значит, исходная система имеет

4

различных решения при

a \in \left( \dfrac{-2-\sqrt{2}}{3},\; -1 \right) \cup \left(-1;-\dfrac{3}{5}\right)\cup \left(-\dfrac{3}{5}; -2-\sqrt{2}\right).

Ответ:

\left( \dfrac{-2-\sqrt{2}}{3}; -1 \right) \cup \left(-1;-\dfrac{3}{5}\right)\cup \left(-\dfrac{3}{5}; -2 + \sqrt{2}\right)

Похожие задачи