Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=11,CD=41 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Ответ:
Решение
Проведём через D прямую DM∥AC. Тогда ∠BDM=∠AKB=60∘. Хорды AM и CD равны, поэтому AM=41. Вписанный четырёхугольник ABDM даёт ∠MAB=180∘−60∘=120∘. В треугольнике ABM по теореме косинусов BM2=112+412−2⋅11⋅41cos120∘=2253. Значит, BM=2253. По теореме синусов R=2sin60∘BM=2sin60∘2253=751.
