Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ФИПИЕГЭ 2025 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(|x-a-1|+|x-a+1|)^2+a(|x-a-1|+|x-a+1|)+a^2-16=0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Пусть

|x-a-1|+|x-a+1|=t

, тогда уравнение примет вид

t^2+at+a^2-16=0.~~~(1)

Проанализируем замену. Раскроем модули по определению, для этого воспользуемся числовой прямой. При этом отметим, что для любых

a

верно неравенство

a+1> a-1

$Изображение 1$

x \leqslant a-1

t = -x+a+1-x+a-1=-2x+2a.

a-1 < x < a+1

t = -x+a+1+x-a+1=2.

x \geqslant a+1

t = x-a-1+x-a+1=2x-2a.

В системе

Oxt

построим график функции

t = |x - a - 1| + |x - a + 1|

$Изображение 2$

Таким образом, при

t<2

решений по

x

нет, при

t=2

будет бесконечное число решений по

x

, а каждому

t>2

соответствует два решения по

x

.
Таким образом, для того чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, нам нужно, чтобы ровно один корень уравнения (1) был больше 2, а другой корень либо был меньше 2, либо не существовал.
Пусть

f(t)=t^2+at+a^2-16

, графиком является парабола с ветвями вверх.
Нам нужно, чтобы парабола либо пересекала ось абсцисс по разные стороны от

t=2

, либо касалась оси правее

t=2

.
Рассмотрим эти случаи:
1) Уравнение

f(t)=0

имеет два корня, расположенных по разные стороны от 2.

$Изображение 3$

Этот случай задаётся условием

f(2)<0, \quad 4+2a+a^2-16<0, \quad a^2+2a-12<0, \quad (a-(-1-\sqrt{13})(a-(-1+\sqrt{13})<0;

$Изображение 4$

a\in (-1-\sqrt{13}; -1+\sqrt{13}).

2) Уравнение

f(t)=0

имеет один корень, больший 2.

Interactive background for parameters-2026:20.4

Этот случай задаётся системой

\begin{cases} t_{\text{В}}>2, \\ D=0; \end{cases} \quad\begin{cases} -\dfrac{a}{2}>2, \\ a^2-4a^2+64=0; \end{cases} \quad\begin{cases} -a>4, \\ a^2=\dfrac{64}{3}; \end{cases}\quad\begin{cases} a<-4, \\ a=\pm \dfrac{8}{\sqrt{3}}; \end{cases} \quad a=-\dfrac{8}{\sqrt{3}}.

Объединяя все случаи, получаем, что

a\in (-1-\sqrt{13};-1+\sqrt{13}) \cup \left\{-\dfrac{8}{\sqrt{3}}\right\}

.
Ответ:

a\in (-1-\sqrt{13};-1+\sqrt{13}) \cup \left\{-\dfrac{8}{\sqrt{3}}\right\}

Static parameter plot for parameters-2026:20.4

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи