Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(∣x−a−1∣+∣x−a+1∣)2+a(∣x−a−1∣+∣x−a+1∣)+a2−16=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Пусть ∣x−a−1∣+∣x−a+1∣=t, тогда уравнение примет вид
t2+at+a2−16=0.(1) Проанализируем замену. Раскроем модули по определению, для этого воспользуемся числовой прямой. При этом отметим, что для любых a верно неравенство a+1>a−1.
1) x⩽a−1: t=−x+a+1−x+a−1=−2x+2a. 2) a−1<x<a+1: t=−x+a+1+x−a+1=2. 3) x⩾a+1: t=x−a−1+x−a+1=2x−2a. В системе Oxt построим график функции t=∣x−a−1∣+∣x−a+1∣:
Таким образом, при t<2 решений по x нет, при t=2 будет бесконечное число решений по x, а каждому t>2 соответствует два решения по x. Таким образом, для того чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, нам нужно, чтобы ровно один корень уравнения (1) был больше 2, а другой корень либо был меньше 2, либо не существовал.
Пусть f(t)=t2+at+a2−16, графиком является парабола с ветвями вверх.
Нам нужно, чтобы парабола либо пересекала ось абсцисс по разные стороны от t=2, либо касалась оси правее t=2. Рассмотрим эти случаи:
1) Уравнение f(t)=0 имеет два корня, расположенных по разные стороны от 2.
Этот случай задаётся условием
f(2)<0,4+2a+a2−16<0,a2+2a−12<0,(a−(−1−13)(a−(−1+13)<0;
a∈(−1−13;−1+13). 2) Уравнение f(t)=0 имеет один корень, больший 2.
Этот случай задаётся системой
{tВ>2,D=0;{−2a>2,a2−4a2+64=0;⎩⎨⎧−a>4,a2=364;⎩⎨⎧a<−4,a=±38;a=−38. Объединяя все случаи, получаем, что a∈(−1−13;−1+13)∪{−38}. Ответ: a∈(−1−13;−1+13)∪{−38}.
