Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

В остроугольном треугольнике

A B C

высоты

A A_{1}, B B_{1}

C C_{1}

пересекаются в точке

H

. Через точку

C_{1}

параллельно высоте

B B_{1}

проведена прямая, пересекающая высоту

A A_{1}

в точке

K

.

a) Докажите, что

A B \cdot K H=B C \cdot C_{1} H

.

б) Найдите отношение площадей треугольников

C_{1} H K

A B C

, если

A B=6, B C=4, A C=5

Решение

а) Пусть

\angle ACB = \alpha

. Тогда

\angle A_1AC = 90^\circ - \alpha

. Обозначим

B_2

— точку пересечения прямой, проведенной через

C_1

параллельно

BB_1

, со стороной

AC

. Тогда

\angle AKB_2 = \alpha

(так как треугольники

AB_2K

AA_1C

подобны) и

\angle C_1KA_1 = \alpha

как вертикальный с

\angle AKB_2

.

Пусть

\angle BAC = \gamma

. Тогда

\angle C_1CA = 90^\circ - \gamma

\angle B_1HC = \gamma

. Тогда

\angle B_2C_1C = \gamma

(как соответственные при параллельных прямых

BB_1

KB_2

).

Таким образом, в треугольниках

ABC

KC_1H

имеем:

\angle BAC = \gamma = \angle B_2C_1C = \angle KC_1H;

\angle ACB = \alpha = \angle C_1KA_1 = \angle C_1KH;

Следовательно, треугольники

ABC

KC_1H

подобны по двум углам. Из подобия получаем:

\frac{KH}{BC} = \frac{C_1H}{AB} \quad\Rightarrow\quad AB \cdot KH = BC \cdot C_1H.

$Изображение 1$

б) Обозначим

\angle{ABC} = \beta

. Тогда

BC_1 = BC \cdot \cos \beta

. Из прямоугольного треугольника

ABB_1

находим угол

ABB_1

\angle{ABB_1} = 90^{\circ} - \angle{BAC} = 90^{\circ} - \gamma.

Из треугольника

C_1BH

получаем:

\operatorname{tg}(90^\circ - \gamma) = \operatorname{ctg}\gamma = \frac{C_1H}{BC_1} \quad \Rightarrow \quad C_1H = BC_1 \operatorname{ctg}\gamma = BC \cdot \cos \beta \cdot \operatorname{ctg}\gamma.

Найдем косинусы углов

\beta

\gamma

по теореме косинусов:

\cos \beta = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{36 + 16 - 25}{2 \cdot 6 \cdot 4} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16};

\cos \gamma = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{36 + 25 - 16}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}.

Тогда

\sin \gamma = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}

, и

\operatorname{ctg}\gamma = \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} = \frac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}}.

Следовательно,

C_1H = 4 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 3}{16 \sqrt{7}} = \frac{108}{16\sqrt{7}} = \frac{27}{4\sqrt{7}}.

Коэффициент подобия треугольников

ABC

KC_1H

равен отношению соответственных сторон:

k = \frac{C_1H}{AB} = \frac{\dfrac{27}{4\sqrt{7}}}{6} = \frac{27}{24\sqrt{7}} = \frac{9}{8\sqrt{7}}.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\frac{S_{C_1HK}}{S_{ABC}} = k^2 = \frac{81}{64 \cdot 7} = \frac{81}{448}.

Ответ:

\dfrac{81}{448}

Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи