В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1,BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Через точку C1 параллельно высоте BB1 проведена прямая, пересекающая высоту AA1 в точке K.
a) Докажите, что AB⋅KH=BC⋅C1H.
б) Найдите отношение площадей треугольников C1HK и ABC, если AB=6,BC=4,AC=5.
Решение
а) Пусть ∠ACB=α. Тогда ∠A1AC=90∘−α. Обозначим B2 — точку пересечения прямой, проведенной через C1 параллельно BB1, со стороной AC. Тогда ∠AKB2=α (так как треугольники AB2K и AA1C подобны) и ∠C1KA1=α как вертикальный с ∠AKB2.
Пусть ∠BAC=γ. Тогда ∠C1CA=90∘−γ и ∠B1HC=γ. Тогда ∠B2C1C=γ (как соответственные при параллельных прямых BB1 и KB2).
Таким образом, в треугольниках ABC и KC1H имеем:
∠BAC=γ=∠B2C1C=∠KC1H; ∠ACB=α=∠C1KA1=∠C1KH; Следовательно, треугольники ABC и KC1H подобны по двум углам. Из подобия получаем:
BCKH=ABC1H⇒AB⋅KH=BC⋅C1H.
б) Обозначим ∠ABC=β. Тогда BC1=BC⋅cosβ. Из прямоугольного треугольника ABB1 находим угол ABB1: ∠ABB1=90∘−∠BAC=90∘−γ. Из треугольника C1BH получаем:
tg(90∘−γ)=ctgγ=BC1C1H⇒C1H=BC1ctgγ=BC⋅cosβ⋅ctgγ.
Найдем косинусы углов β и γ по теореме косинусов:
cosβ=2⋅AB⋅BCAB2+BC2−AC2=2⋅6⋅436+16−25=4827=169; cosγ=2⋅AB⋅ACAB2+AC2−BC2=2⋅6⋅536+25−16=6045=43. Тогда sinγ=1−(43)2=47, и
ctgγ=sinγcosγ=4743=73. Следовательно,
C1H=4⋅169⋅73=1674⋅9⋅3=167108=4727.
Коэффициент подобия треугольников ABC и KC1H равен отношению соответственных сторон:
k=ABC1H=64727=24727=879. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
SABCSC1HK=k2=64⋅781=44881. Ответ: 44881.
