Пирамиды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГКР 05.04.2024

В правильной треугольной пирамиде

SABC

боковое ребро

AS

равно

3\sqrt{10}

, а высота

SH

пирамиды равна

5\sqrt{2}

. Точка

M

— середина ребра

BC

, а

AT

— высота пирамиды, проведённая к грани

SBC

.
а) Докажите, что точка

T

является серединой отрезка

SM

.
б) Найдите расстояние между прямыми

AT

SB

Решение

а)

AM

— высота, медиана и биссектриса

\triangle ABC

SM

— высота, медиана и биссектриса

\triangle SBC

, значит,

AM \perp BC

SM \perp BC

, то есть

BC \perp (SAM)

.
Пусть

AQ

— высота

\triangle SAM

, тогда

AQ \perp BC

, значит,

AQ \perp (SBC)

AQ

совпадает с

AT

, то есть

T \in SM

.
В

\triangle SAH

по теореме Пифагора:

SA^2 = AH^2 + SH^2, \quad AH = \sqrt{SA^2 - SH^2} = \sqrt{90 - 50} = 2\sqrt{10}.

Так как точка

H

— точка пересечения медиан треугольника

ABC

, то

\dfrac{AH}{HM} = \dfrac{2}{1}, \quad AM = \dfrac{3}{2}AH = 3\sqrt{10}.

Получаем, что

AS = AM

, а

\triangle SAM

-- равнобедренный, откуда получаем, что

AT

— медиана, высота и биссектриса, то есть

T

— середина

SM

, ч.т.д.

б) Пусть

MR

— высота

\triangle BMS

TP \parallel MR

. Тогда

TP \perp AT

TP \perp SB

, следовательно,

TP = \rho (AT; SB)

\triangle ABM

имеем:

AB = \dfrac{AM}{\sin 60^{\circ}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{30}.

Так как

M

— середина

BC

, то

BM = \dfrac{1}{2}BC = \sqrt{30}

.
В

\triangle SBM

по теореме Пифагора:

SB^2 = SM^2 + BM^2, \quad SM = \sqrt{SB^2 - BM^2} = \sqrt{90 - 30} = 2\sqrt{15}.

По свойству высоты, проведённой из вершины прямого угла:

MR = \dfrac{BM \cdot SM}{SB} = \dfrac{2\sqrt{15}\cdot \sqrt{30}}{3\sqrt{10}} = 2\sqrt{5}.

Так как

TP

— средняя линия

\triangle SRM

, то

TP = \dfrac{1}{2}MR = \sqrt{5}

. \par \medskip
Ответ:

\sqrt{5}

Пирамиды — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи