В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро AS равно 310, а высота SH пирамиды равна 52. Точка M — середина ребра BC, а AT — высота пирамиды, проведённая к грани SBC. а) Докажите, что точка T является серединой отрезка SM. б) Найдите расстояние между прямыми AT и SB.
Решение
а) AM -- высота, медиана и биссектриса △ABC,SM -- высота, медиана и биссектриса △SBC, значит, AM⊥BC и SM⊥BC, то есть BC⊥(SAM). Пусть AQ -- высота △SAM, тогда AQ⊥BC, значит, AQ⊥(SBC) и AQ совпадает с AT, то есть T∈SM. В △SAH по теореме Пифагора:
SA2=AH2+SH2,AH=SA2−SH2=90−50=210. Так как точка H -- точка пересечения медиан треугольника ABC, то
HMAH=12,AM=23AH=310. Получаем, что AS=AM, а △SAM -- равнобедренный, откуда получаем, что AT -- медиана, высота и биссектриса, то есть T -- середина SM, ч.т.д.
б) Пусть MR -- высота △BMS,TP∥MR. Тогда TP⊥AT,TP⊥SB, следовательно, TP=ρ(AT;SB).
В △ABM имеем:
AB=sin60∘AM=23310=230. Так как M -- середина BC, то BM=21BC=30. В △SBM по теореме Пифагора:
SB2=SM2+BM2,SM=SB2−BM2=90−30=215. По свойству высоты, проведённой из вершины прямого угла:
MR=SBBM⋅SM=310215⋅30=25. Так как TP -- средняя линия △SRM, то TP=21MR=5. \par \medskip
Ответ: 5.
