Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй - 104, а в третьей коробке камней нет.
За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй - 89, а в третьей - 15 ?
б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень?
в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Решение
Обозначим количество камней в коробках как (a,b,c). Изначально (97,104,0).
Рассмотрим последовательность из трёх ходов:
1) 1-й ход: из первой и второй в третью: (a−1,b−1,c+2) 2) 2-й ход: из первой и второй в третью: (a−2,b−2,c+4) 3) 3-й ход: из второй и третьей в первую:(a,b−3,c+3)
Таким образом, за три хода мы получаем процесс, который перекладывает 3 камня из второй коробки в третью, не меняя первую коробку:
(a,b,c)→(a,b−3,c+3).
а) Проверим, можно ли получить (97,89,15). Используем тот же процесс. Нам нужно из второй убрать 104−89=15 камней и добавить их в третью. То есть нужно применить этот процесс k раз, где 3k=15⇒k=5. Тогда:
b=104−3⋅5=104−15=89,c=0+3⋅5=15,a=97.
б) Рассмотрим инвариант c−a. Изначально c−a=0−97=−97. При каждом ходе:
1) Из первой и второй в третью: c−a→(c+2)−(a−1)=c−a+3. 2) Из первой и третьей во вторую: c−a→(c−1)−(a−1)=c−a. 3) Из второй и третьей в первую: c−a→(c−1)−(a+2)=c−a−3.
Таким образом, c−a может измениться только на 0 или ±3. Начальное значение −97. Если в третьей оказалось 201, то сумма камней постоянна a+b+c=201, значит a+b=0⇒a=0,b=0. Тогда c−a=201. Получаем уравнение:
201=−97+3k⇒3k=298⇒k=9931, не целое. Противоречие.
в) В первой коробке должен оказаться 1 камень. Сначала нужно уменьшить первую коробку. Для этого используем аналогичный процесс, но перекладывающий камни из первой в третью. Рассмотрим последовательность:
1) 1-й ход: из первой и второй в третью: (a−1,b−1,c+2) 2) 2-й ход: из первой и второй в третью: (a−2,b−2,c+4) 3) 3-й ход: из первой и третьей во вторую: (a−3,b,c+3)
Получили процесс, который за три хода перекладывает 3 камня из первой в третью, не меняя вторую:
(a,b,c)→(a−3,b,c+3).
Применим этот процесс m раз, чтобы уменьшить первую с 97 до 1: нужно убрать 96 камней, значит 3m=96⇒m=32. После этого:
a=97−96=1,b=104,c=0+96=96. Получили (1,104,96).
Теперь используем первый процесс (из второй в третью, не меняя первую). Применим его n раз:
(1,104,96)→(1,104−3n,96+3n). Максимальное n такое, что b≥0:104−3n≥0⇒n≤34. При n=34 получим:
b=104−102=2,c=96+102=198. Проверим, что процесс можно применить 34 раза: после 33 раз b=104−99=5, можно сделать 34-й раз (нужно, чтобы во второй было не менее 3 для третьего хода, после двух первых b станет 3, затем третий ход возможен). Всё корректно.
Таким образом, наибольшее число камней в третьей коробке равно 198.
