Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
{∣3x−y+2∣≤12,(x−3a)2+(y+a)2=3a+4 имеет единственное решение.
Решение
Рассмотрим первое неравенство системы. Оно равносильно системе:
{3x−y+2≤12,3x−y+2≥−12;{y≥3x−10,y≤3x+14. В системе координат Oxy решением полученной системы является множество точек плоскости, лежащих между параллельными прямыми y=3x−10 и y=3x+14, включая сами прямые.
l1:y=3x−10,
l2:y=3x+14,
Второе уравнение исходной системы задаёт окружность с центром O(3a;−a) и радиусом R=3a+4,3a+4≥0,a≥−34. {x0=3a,y0=−a;x0=−3y0,y0=−3x0, значит, y=−3x -- это прямая, по которой движется центр окружности.
Пересечением окружности и полосы будет одна точка в следующих случаях:
1) Окружность-точка нулевого радиуса лежит в полосе.
R=0,3a+4=0,a=−34. Тогда центр окружности x0=3⋅(−34)=−4,y0=−(−34)=34, тогда O1(−4;34). Проверим, удовлетворяет ли эта точка первому неравенству:
∣3x−y+2∣≤12,3⋅(−4)−34+2≤12,−1131≤12,1131≤12−верно. Значит, такая окружность-точка попадает в полосу.
2) Окружность касается границы полосы, при этом сама окружность находится снаружи полосы.
Если окружность касается полосы, то она касается её границы, то есть или прямой y=3x−10, или прямой y=3x+14. В случае касания окружности и прямой расстояние от её центра до этой прямой равно радиусу.
Запишем условие касания с y=3x−10,3x−y−10=0. ρ(O;l1)=32+12∣3(3a)−(−a)−10∣=3a+4,∣10a−10∣=10(3a+4). Обе части уравнения неотрицательны, возведём в квадрат:
100(a−1)2=10(3a+4)∣:10,10a2−20a+10=3a+4,10a2−23a+6=0,a1=2,a2=0,3. Если a=2, то центр окружности (6;−2),R=3⋅2+4=10. При x=6 значение функции y=3x−10 равно y(6)=8, значит, точка (6;−2) лежит под этой прямой, то есть окружность касается полосы снаружи.
Если a=0,3, то центр окружности (0,9;−0,3), Эта точка лежит внутри полосы, так как удовлетворяет неравенству ∣3x−y+2∣≤12,∣3⋅0,9+0,3+2∣≤12 -- верно.
Значит, при a=0,3 окружность имеет более одной общей точки с полосой.
Рассмотрим касание с y=3x+14,3x−y+14=0. ρ(O;l2)=32+12∣3(3a)−(−a)+14∣=3a+4,∣10a+14∣=10(3a+4). Обе части уравнения неотрицательны, возведём в квадрат:
100a2+280a+196=30a+40,100a2+250a+156=0,50a2+125a+78=0; Пусть5a=b,тогда2b2+25b+78=0; b1=−213,b2=−6; a1=5b1=−1013=−1,3,a2=5b2=−56=−1,2. Если a=−1,2, то центр окружности (−3,6;1,2), радиус R=0,4. Проверим на попадание в полосу центра окружности:
∣3⋅(−3,6)−1,2+2∣≤12,∣−10,8−1,2+2∣≤12,10≤12−верно. Значит, a=−1,2 не подходит.
Если a=−1,3, то центр окружности (−3,9;1,3), радиус R=0,1. Проверим на попадание в полосу центра окружности:
∣3⋅(−3,9)−1,3+2∣≤12,∣−11,7−1,3+2∣≤12,11≤12−верно. Значит, a=−1,3 не подходит.
Ответ: a∈{−34;2}.
