Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026МИОО 2011

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система

\begin{cases} |3x - y + 2| \le 12, \\ (x - 3a)^2 + (y + a)^2 = 3a + 4\end{cases}

имеет единственное решение.

Решение

Рассмотрим первое неравенство системы. Оно равносильно системе:

\begin{cases} 3x - y + 2\le12, \\ 3x - y + 2\ge-12;\end{cases} \quad \begin{cases} y\ge 3x - 10, \\ y\le 3x + 14.\end{cases}

В системе координат

Oxy

решением полученной системы является множество точек плоскости, лежащих между параллельными прямыми

y=3x-10

y=3x+14

, включая сами прямые.

l_1

y = 3x - 10

$Изображение 1$

l_2

y = 3x + 14

$Изображение 2$

Второе уравнение исходной системы задаёт окружность с центром

O (3a;-a)

и радиусом

R=\sqrt{3a+4}

3a+4\ge0, \quad a\ge -\dfrac{4}{3}

\begin{cases} x_0=3a, \\ y_0=-a; \end{cases} \quad x_0=-3y_0, \quad y_0= - \dfrac{x_0}{3},

значит,

y=-\dfrac{x}{3}

— это прямая, по которой движется центр окружности.
Пересечением окружности и полосы будет одна точка в следующих случаях:
1) Окружность — точка нулевого радиуса лежит в полосе.

R=0, \quad \sqrt{3a+4}=0, \quad a=-\dfrac{4}{3}.

Тогда центр окружности

x_0=3\cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)=-4

y_0=-\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{4}{3}

, тогда

O_1 \left(-4; \dfrac{4}{3} \right)

.
Проверим, удовлетворяет ли эта точка первому неравенству:

|3x-y+2|\le12, \quad \left|3 \cdot (-4)-\dfrac{4}{3}+2 \right|\le12, \quad \left|-11\dfrac{1}{3}\right|\le12, \quad 11\dfrac{1}{3}\le 12 - \text{верно}.

Значит, такая окружность — точка попадает в полосу.
2) Окружность касается границы полосы, при этом сама окружность находится снаружи полосы.
Если окружность касается полосы, то она касается её границы, то есть или прямой

y=3x-10

, или прямой

y=3x+14

. В случае касания окружности и прямой расстояние от её центра до этой прямой равно радиусу.
Запишем условие касания с

y=3x-10

3x-y-10=0

\rho (O; l_1)=\dfrac{|3(3a)-(-a)-10|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\sqrt{3a+4}, \quad |10a-10|=\sqrt{10(3a+4)}.

Обе части уравнения неотрицательны, возведём в квадрат:

100(a-1)^2=10(3a+4) \ |:10, \quad 10a^2-20a+10=3a+4, \quad 10a^2-23a+6=0, \quad a_1=2, \quad a_2=0{,}3.

Если

a=2

, то центр окружности

(6;-2)

R=\sqrt{3\cdot 2+4}=\sqrt{10}

.
При

x=6

значение функции

y=3x-10

равно

y(6)=8

, значит, точка

(6;-2)

лежит под этой прямой, то есть окружность касается полосы снаружи.
Если

a=0{,}3

, то центр окружности

(0{,}9;-0{,}3)

, Эта точка лежит внутри полосы, так как удовлетворяет неравенству

|3x-y+2|\le12

|3\cdot 0{,}9+0{,}3+2|\le12

— верно.
Значит, при

a=0{,}3

окружность имеет более одной общей точки с полосой.

Interactive background for parameters-2026:14.3

Рассмотрим касание с

y=3x+14

3x-y+14=0

\rho (O; l_2)=\dfrac{|3(3a)-(-a)+14|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\sqrt{3a+4}, \quad |10a+14|=\sqrt{10(3a+4)}.

Обе части уравнения неотрицательны, возведём в квадрат:

100a^2+280a+196=30a+40, \quad 100a^2+250a+156=0, \quad 50a^2+125a+78=0;

\text{Пусть }5a=b, \quad \text{тогда}\quad 2b^2+25b+78=0;

b_1=-\dfrac{13}{2}, \quad b_2=-6;

a_1=\dfrac{b_1}{5}=-\dfrac{13}{10}=-1{,}3, \quad a_2=\dfrac{b_2}{5}=-\dfrac{6}{5}=-1{,}2.

Если

a=-1{,}2

, то центр окружности

(-3{,}6; 1,2)

, радиус

R=\sqrt{0{,}4}

. Проверим на попадание в полосу центра окружности:

|3\cdot (-3{,}6)-1{,}2+2|\le12, \quad |-10{,}8-1{,}2+2|\le12, \quad 10\le12 - \text{верно}.

Значит,

a=-1{,}2

не подходит.
Если

a=-1{,}3

, то центр окружности

(-3{,}9; 1,3)

, радиус

R=\sqrt{0{,}1}

. Проверим на попадание в полосу центра окружности:

|3\cdot (-3{,}9)-1{,}3+2|\le12, \quad |-11{,}7-1{,}3+2|\le12, \quad 11\le12 - \text{верно}.

Значит,

a=-1{,}3

не подходит.
Ответ:

a\in\left\{-\dfrac{4}{3}; 2\right\}

Static parameter plot for parameters-2026:14.3

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи