Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}x+y=a, \\|y|=\left|x^2-2 x\right|\end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Заметим, что

|y| = |x^2 - 2x|\quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} y = x^2 - 2x,\\ y = -x^2 + 2x. \end{array} \right. - \text{ две параболы}.

x + y = a

- это множество параллельных прямых с угловым коэффициентом

-1

.

Таким образом, исходная система равносильна

\begin{cases} x + y = a, \\ \left[ \begin{array}{l} y = x^2 - 2x,\\ y = -x^2 + 2x. \end{array} \right. \end{cases}

Изобразим в осях

Oxy

обе параболы и прямые

x + y = a

в основных положениях:

В положении a I прямая

y = -x + a_1

касается параболы

y = -x^2 + 2x

. Значит, уравнение

-x^2 + 2x = -x + a_1\quad\Rightarrow\quad x^2 - 3x + a_1 = 0

имеет ровно одно решение, то есть дискриминант равен

0

D = (-3)^2 - 4a_1 = 0\quad\Rightarrow\quad a_1 = \dfrac{9}{4}.

В положении II прямая

y = -x + a_2

касается параболы

y = x^2 - 2x

. Значит, уравнение

x^2 - 2x = -x + a_2\quad\Rightarrow\quad x^2 - x - a_1 = 0

имеет ровно одно решение, то есть дискриминант равен

0

D = (-1)^2 + 4a_1 = 0\quad\Rightarrow\quad a_1 = -\dfrac{1}{4}.

Таким образом, система имеет два различных решения при

a \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{4}\right)\cup \left(\dfrac{9}{4}; +\infty\right)

.

Ответ:

\left(-\infty; -\dfrac{1}{4}\right)\cup \left(\dfrac{9}{4}; +\infty\right)

Похожие задачи