Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{x+y=a,∣y∣=x2−2x имеет ровно два различных решения.
Решение
Заметим, что
∣y∣=∣x2−2x∣⇔[y=x2−2x,y=−x2+2x.−двепараболы. x+y=a - это множество параллельных прямых с угловым коэффициентом −1.
Таким образом, исходная система равносильна
⎩⎨⎧x+y=a,[y=x2−2x,y=−x2+2x. Изобразим в осях Oxy обе параболы и прямые x+y=a в основных положениях:
В положении a I прямая y=−x+a1 касается параболы y=−x2+2x. Значит, уравнение
−x2+2x=−x+a1⇒x2−3x+a1=0 имеет ровно одно решение, то есть дискриминант равен 0: D=(−3)2−4a1=0⇒a1=49. В положении II прямая y=−x+a2 касается параболы y=x2−2x. Значит, уравнение
x2−2x=−x+a2⇒x2−x−a1=0 имеет ровно одно решение, то есть дискриминант равен 0: D=(−1)2+4a1=0⇒a1=−41. Таким образом, система имеет два различных решения при a∈(−∞;−41)∪(49;+∞).
