Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 13, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение
Пусть M — середина AB. Продлим биссектрису DM до пересечения с прямой BC в точке P. Из параллельности оснований и равенства углов при биссектрисе получаем ∠CPD=∠CDP, значит PC=CD=13. Тогда PB=PC−BC=13−4=9. Треугольники PBM и DAM подобны, а AM=MB, поэтому AD=PB=9. Проведём CE∥AB,E∈AD. Тогда ABCE — параллелограмм: CE=AB=12,AE=BC=4. Следовательно, ED=AD−AE=5. По данным CE2+ED2=122+52=132=CD2, поэтому CE — высота трапеции. Тогда S=2AD+BC⋅CE=29+4⋅12=78.
