На доске написано 11 различных натуральных… — Теория чисел — ЕГЭ

Теория чисел

ФИПИ

На доске написано

11

различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно

5

, а среднее арифметическое шести наибольших равно

15

.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться

3

?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться

9

?
в) Пусть

B

- шестое по величине число, а

S

- среднее арифметическое всех одиннадцати чисел.
Найдите наибольшее значение выражения

S - B

Решение

Расположим числа в порядке возрастания:

a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6 < a_7 < a_8 < a_9 < a_{10} < a_{11},

где

(a_i \in \mathbb{N})

и все числа различны.

По условию, среднее арифметическое шести наименьших равно 5:

\dfrac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = 5 \quad \Rightarrow \quad a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30. \tag{1}

Среднее арифметическое шести наибольших равно

15

\dfrac{a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11}}{6} = 15 \Rightarrow a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} = 90. \tag{2}

а) Пусть наименьшее число

(a_1 = 3)

. Так как числа натуральные и различные, минимально возможные значения для следующих пяти чисел будут

(4, 5, 6, 7, 8)

. Тогда сумма первых шести чисел:

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \ge 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33.

Но по условию эта сумма должна равняться 30. Получили противоречие (

33 > 30

). Следовательно,

a_1

не может равняться 3.

б) Предположим, что среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равно 9:

\dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_{11}}{11} = 9 \quad \Rightarrow \quad a_1 + a_2 + \dots + a_{11} = 99. \tag{3}

Вычтем из суммы всех одиннадцати чисел сумму шести наибольших:

a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} = 90. \\ (a_1 + a_2 + \dots + a_{11}) - (a_6 + a_7 + \dots + a_{11}) = 9 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5.

Таким образом, сумма первых

5

чисел должна быть равна 9, но наименьшая сумма

5

различных натуральных чисел равна:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15; \\ 15 > 9 \Rightarrow \text{противоречие.}

в) Выразим сумму всех чисел через

a_6

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 30 - a_6; \\ a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} = 90 - a_6.

Тогда сумма всех одиннадцати чисел:

a_1 + \dots + a_{11} = (30 - a_6) + a_6 + (90 - a_6) = 120 - a_6.

Среднее арифметическое:

S = \dfrac{120 - a_6}{11}.

Нас интересует выражение

S - B = S - a_6 = \dfrac{120 - a_6}{11} - a_6 = \dfrac{120 - a_6 - 11a_6}{11} = \dfrac{120 - 12a_6}{11}.

Для максимизации этого выражения нужно взять наименьшее возможное

a_6

.

Найдём минимально возможное

a_6

. Сумма первых пяти чисел

30 - a_6

должна быть суммой пяти различных натуральных чисел, меньших

a_6

. Минимальная сумма пяти наименьших натуральных чисел, меньших

a_6

, достигается при выборе чисел

1, 2, 3, 4, 5

, но они должны быть все меньше

a_6

, поэтому нужно, чтобы

a_6 > 5

. При

a_6 = 6

максимальная сумма пяти чисел, меньших 6, равна

1+2+3+4+5 = 15 < 30-6 = 24

— невозможно. Значит,

a_6

не может быть слишком маленьким.

Подберём

a_6

, начиная с наименьших возможных значений.

1)

a_6 = 7

: сумма первых пяти

30-7=23

. Максимальная сумма пяти различных чисел, меньших 7 (из

\{1,2,3,4,5,6\}

), равна

2+3+4+5+6=20 < 23

. Не подходит.
2)

a_6 = 8

: сумма первых пяти

30-8=22

. Возможный набор:

2,3,4,6,7

(сумма

22

). Все числа меньше 8 и различны. Подходит.

Подставляем

a_6 = 8

в выражение:

S - B = \dfrac{120 - 12 \cdot 8}{11} = \dfrac{120 - 96}{11} = \dfrac{24}{11}.

Покажем, что это значение достигается. Возьмём набор:

a_1=2,\; a_2=3,\; a_3=4,\; a_4=6,\; a_5=7,\; a_6=8,\; a_7=9,\; a_8=10,\; a_9=11,\; a_{10}=12,\; a_{11}=40.

Проверка:

\text{Сумма первых шести: } 2+3+4+6+7+8 = 30 \Rightarrow \text{ср. арифм. } 5,

\text{Сумма последних шести: } 8+9+10+11+12+40 = 90 \Rightarrow \text{ср. арифм. } 15,

S = \dfrac{2+3+4+6+7+8+9+10+11+12+40}{11} = \dfrac{112}{11},

S - B = \dfrac{112}{11} - 8 = \dfrac{112 - 88}{11} = \dfrac{24}{11}.

Ответ: а) нет; б) нет; в)

\dfrac{24}{11}

Теория чисел

ФИПИ

На доске написано

11

различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно

5

, а среднее арифметическое шести наибольших равно

15

.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться

3

?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться

9

?
в) Пусть

B

- шестое по величине число, а

S

- среднее арифметическое всех одиннадцати чисел.
Найдите наибольшее значение выражения

S - B

Решение

Расположим числа в порядке возрастания:

a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6 < a_7 < a_8 < a_9 < a_{10} < a_{11},

где

(a_i \in \mathbb{N})

и все числа различны.

По условию, среднее арифметическое шести наименьших равно 5:

\dfrac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = 5 \quad \Rightarrow \quad a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30. \tag{1}

Среднее арифметическое шести наибольших равно

15

\dfrac{a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11}}{6} = 15 \Rightarrow a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} = 90. \tag{2}

а) Пусть наименьшее число

(a_1 = 3)

. Так как числа натуральные и различные, минимально возможные значения для следующих пяти чисел будут

(4, 5, 6, 7, 8)

. Тогда сумма первых шести чисел:

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \ge 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33.

Но по условию эта сумма должна равняться 30. Получили противоречие (

33 > 30

). Следовательно,

a_1

не может равняться 3.

б) Предположим, что среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равно 9:

\dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_{11}}{11} = 9 \quad \Rightarrow \quad a_1 + a_2 + \dots + a_{11} = 99. \tag{3}

Вычтем из суммы всех одиннадцати чисел сумму шести наибольших:

a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} = 90. \\ (a_1 + a_2 + \dots + a_{11}) - (a_6 + a_7 + \dots + a_{11}) = 9 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5.

Таким образом, сумма первых

5

чисел должна быть равна 9, но наименьшая сумма

5

различных натуральных чисел равна:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15; \\ 15 > 9 \Rightarrow \text{противоречие.}

в) Выразим сумму всех чисел через

a_6

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 30 - a_6; \\ a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} = 90 - a_6.

Тогда сумма всех одиннадцати чисел:

a_1 + \dots + a_{11} = (30 - a_6) + a_6 + (90 - a_6) = 120 - a_6.

Среднее арифметическое:

S = \dfrac{120 - a_6}{11}.

Нас интересует выражение

S - B = S - a_6 = \dfrac{120 - a_6}{11} - a_6 = \dfrac{120 - a_6 - 11a_6}{11} = \dfrac{120 - 12a_6}{11}.

Для максимизации этого выражения нужно взять наименьшее возможное

a_6

.

Найдём минимально возможное

a_6

. Сумма первых пяти чисел

30 - a_6

должна быть суммой пяти различных натуральных чисел, меньших

a_6

. Минимальная сумма пяти наименьших натуральных чисел, меньших

a_6

, достигается при выборе чисел

1, 2, 3, 4, 5

, но они должны быть все меньше

a_6

, поэтому нужно, чтобы

a_6 > 5

. При

a_6 = 6

максимальная сумма пяти чисел, меньших 6, равна

1+2+3+4+5 = 15 < 30-6 = 24

— невозможно. Значит,

a_6

не может быть слишком маленьким.

Подберём

a_6

, начиная с наименьших возможных значений.

1)

a_6 = 7

: сумма первых пяти

30-7=23

. Максимальная сумма пяти различных чисел, меньших 7 (из

\{1,2,3,4,5,6\}

), равна

2+3+4+5+6=20 < 23

. Не подходит.
2)

a_6 = 8

: сумма первых пяти

30-8=22

. Возможный набор:

2,3,4,6,7

(сумма

22

). Все числа меньше 8 и различны. Подходит.

Подставляем

a_6 = 8

в выражение:

S - B = \dfrac{120 - 12 \cdot 8}{11} = \dfrac{120 - 96}{11} = \dfrac{24}{11}.

Покажем, что это значение достигается. Возьмём набор:

a_1=2,\; a_2=3,\; a_3=4,\; a_4=6,\; a_5=7,\; a_6=8,\; a_7=9,\; a_8=10,\; a_9=11,\; a_{10}=12,\; a_{11}=40.

Проверка:

\text{Сумма первых шести: } 2+3+4+6+7+8 = 30 \Rightarrow \text{ср. арифм. } 5,

\text{Сумма последних шести: } 8+9+10+11+12+40 = 90 \Rightarrow \text{ср. арифм. } 15,

S = \dfrac{2+3+4+6+7+8+9+10+11+12+40}{11} = \dfrac{112}{11},

S - B = \dfrac{112}{11} - 8 = \dfrac{112 - 88}{11} = \dfrac{24}{11}.

Ответ: а) нет; б) нет; в)

\dfrac{24}{11}