Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2,BN:ND=1:3.
а) Докажите, что cos∠BAD=51.
б) Найдите площадь ромба, если MN=5.
Решение
а) Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Обозначим AM=2x, тогда
MC=4x,AO=OC=3x, следовательно, MO=AO−AM=x.
Пусть BN=y, тогда
ND=3y,BO=OD=2y, причём N лежит между B и O, поэтому NO=BO−BN=y.
Пусть T — точка пересечения прямой MN со стороной BC. Опустим перпендикуляр OQ на прямую BC. Также опустим перпендикуляр DH на прямую BC. Так как MN⊥BC, то MN∥OQ. По обобщённой теореме Фалеса получаем:
TQBT=NOBN=yy=1; QTCQ=OMCO=x3x=3. QHTQ=ODNO=y2y=2. Обозначим BT=n. Тогда BC=BT+TQ+QC=n+n+3n=5n и QH=2n,HC=n.
В ромбе все стороны равны, поэтому DC=5n. Также равны противоположные углы, значит,
∠BAD=∠BCD. Из прямоугольного треугольника DHC получаем:
cos∠BAD=cos∠BCD=DCHC=5nn=51.
б) Пусть K — точка пересечения прямой MN со стороной AD. Тогда KTHD — прямоугольник и поэтому KD=TH=3n,AK=AD−KD=5n−3n=2n.
Прямоугольные треугольники AKM и CMT подобны, так как углы AMK и TMC равны, как вертикальные. Коэффициент подобия равен MCAM=21, следовательно, MTKM=21. \par\medskip
Аналогично, треугольники NKD и NTB подобны с коэффициентом подобия NBND=3, следовательно, NTKN=3. \par\medskip
Пусть KT=12a. Тогда получаем:
MT=32KT=8a,NT=41KT=3a. Значит, MN=MT−NT=8a−3a=5a, то есть a=5MN=1 и KT=DH=12.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DHC получаем:
DH2=DC2−HC2=(5n)2−n2=25n2−n2=24n2. Так как DH=12, то
144=24n2⇒n2=6⇒n=6.
Сторона ромба равна BC=5n=56. Таким образом, площадь ромба равна:
S=BC⋅DH=56⋅12=606. Ответ: 606.
