Для студентов Для учителей

Квадрат, Прямоугольник, Ромб — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

Прямая, перпендикулярная стороне

B C

ромба

A B C D

, пересекает его диагональ

A C

в точке

M

, а диагональ

B D

в точке

N

, причём

A M: M C=1: 2, B N: N D=1: 3

.

а) Докажите, что

\cos \angle B A D=\frac{1}{5}

.

б) Найдите площадь ромба, если

M N=5

.

Решение

а) Пусть

O

— точка пересечения диагоналей ромба. Обозначим

AM = 2x

, тогда

MC = 4x,\;AO = OC = 3x,

следовательно,

MO = AO - AM = x

.

Пусть

BN = y

, тогда

ND = 3y,\; BO = OD = 2y,

причём

N

лежит между

B

и

O

, поэтому

NO = BO - BN = y

.

Пусть

T

— точка пересечения прямой

MN

со стороной

BC

. Опустим перпендикуляр

OQ

на прямую

BC

. Также опустим перпендикуляр

DH

на прямую

BC

. Так как

MN \perp BC

, то

MN \parallel OQ

. По обобщённой теореме Фалеса получаем:

\dfrac{BT}{TQ} = \dfrac{BN}{NO} = \dfrac{y}{y} = 1;

\dfrac{CQ}{QT} = \dfrac{CO}{OM} = \dfrac{3x}{x} = 3.

\dfrac{TQ}{QH} = \dfrac{NO}{OD} = \dfrac{2y}{y} = 2.

Обозначим

BT = n

. Тогда

BC = BT + TQ + QC = n + n + 3n = 5n

и

QH = 2n

,

HC = n

.

$Изображение 1$

В ромбе все стороны равны, поэтому

DC = 5n

. Также равны противоположные углы, значит,

\angle BAD = \angle{BCD}.

Из прямоугольного треугольника

DHC

получаем:

\cos \angle{BAD} = \cos \angle BCD = \frac{HC}{DC} = \frac{n}{5n} = \frac{1}{5}.

б) Пусть

K

— точка пересечения прямой

MN

со стороной

AD

. Тогда

KTHD

— прямоугольник и поэтому

KD = TH = 3n

,

AK = AD - KD = 5n - 3n = 2n

.

Прямоугольные треугольники

AKM

и

CMT

подобны, так как углы

AMK

и

TMC

равны, как вертикальные. Коэффициент подобия равен

\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{1}{2}

, следовательно,

\dfrac{KM}{MT} = \dfrac{1}{2}

.
\par\medskip
Аналогично, треугольники

NKD

и

NTB

подобны с коэффициентом подобия

\dfrac{ND}{NB} = 3

, следовательно,

\dfrac{KN}{NT} = 3

.
\par\medskip
Пусть

KT = 12a

. Тогда получаем:

MT = \frac{2}{3} KT = 8a,\quad NT = \frac{1}{4} KT = 3a.

Значит,

MN = MT - NT = 8a - 3a = 5a

, то есть

a = \dfrac{MN}{5} = 1

и

KT = DH = 12

.

$Изображение 2$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике

DHC

получаем:

DH^2 = DC^2 - HC^2 = (5n)^2 - n^2 = 25n^2 - n^2 = 24n^2.

Так как

DH = 12

, то

144 = 24n^2\quad \Rightarrow \quad n^2 = 6 \quad \Rightarrow \quad n = \sqrt{6}.

Сторона ромба равна

BC = 5n = 5\sqrt{6}

. Таким образом, площадь ромба равна:

S = BC \cdot DH = 5\sqrt{6} \cdot 12 = 60\sqrt{6}.

Ответ:

{60\sqrt{6}}

.