Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГЭ 2025 (резерв)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} \dfrac{(y^2-xy-7y+4x+12)\sqrt{x+5}}{\sqrt{5-x}}=0,\\ a=x+y\end{cases}

имеет 2 решения.

Решение

Решим систему графически в координатах

Oxa

.
Рассмотрим первое уравнение системы:

\begin{cases}\left[\begin{gathered} y^2-7y+12+4x-xy = 0, \\ x+5=0, \end{gathered}\right. \\x+5 \geqslant 0, \\5 - x > 0;\end{cases}\quad\begin{cases}\left[\begin{gathered} (y-3)(y-4)-x(y-4) = 0, \\ x=-5,\end{gathered}\right. \\x \geqslant -5, \\x < 5;\end{cases}\quad\begin{cases}\left[\begin{gathered} y = 4, \\ y = x+3, \\ x=-5, \end{gathered}\right. \\x \geqslant -5, \\x < 5.\end{cases} \quad (1)

Подставим второе уравнение системы

y=a-x

в систему (1):

\begin{cases}\left[\begin{gathered} a-x = 4, \\ a-x = x+3, \\ x=-5, \end{gathered}\right. \\x \geqslant -5, \\x < 5.\end{cases} \quad \begin{cases}\left[\begin{gathered} a = x + 4, \\ a = 2x +3, \\ x=-5, \end{gathered}\right. \\-5 \leqslant x < 5.\end{cases}

1) Уравнение

a=x+4

задаёт прямую с коэффициентом наклона 1.
2) Уравнение

a=2x+3

задаёт прямую с коэффициентом наклона 2.
3) Уравнение

x=-5

задаёт вертикальную прямую, параллельную оси

Oa

.
4) Неравенство

-5 \leqslant x < 5

задаёт полосу между прямыми

x=-5

x=5

, не включая

x=5

.
Найдём точку пересечения

a=2x+3

a=x+4

2x+3=x+4, \quad x=1.

Получаем, что точка пересечения

(1;5)

.
Найдём точку пересечения

a=2x+3

x=-5

a=2\cdot(-5)+3=-7.

Найдём точку пересечения

a=2x+3

x=5

a=2\cdot5+3=13.

Найдём точку пересечения

a=x+4

x=-5

a=-5+4=-1.

Найдём точку пересечения

a=x+4

x=5

a=5+4=9.

Запустим горизонтальную считывающую прямую, количество точек её пересечения с полученным графиком соответствует количеству корней исходного уравнения.
Отметим на графике несколько положений прямой и подпишем количество решений.

$Изображение 1$

Положение I: прямая проходит через точку

(-5;-7)

, то есть

a=-7

.
\textbf{Положение II: прямая проходит через точку

(-5;-1)

, то есть

a=-1

.
\textbf{Положение III: прямая проходит через точку

(1;5)

, то есть

a=5

.

Положение IV: прямая проходит через точку

(5;9)

, то есть

a=9

.
Положение V: прямая проходит через точку

(5;13)

, то есть

a=13

.
Нам подходит два решения, что соответствует положениям между I и II, положению III и положениям между IV и V, не включая I и V. Значит,

a\in (-7;-1] \cup \{5\} \cup [9;13)

.
Ответ:

a\in (-7;-1] \cup \{5\} \cup [9;13)

Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи