Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
⎩⎨⎧5−x(y2−xy−7y+4x+12)x+5=0,a=x+y имеет 2 решения.
Решение
Решим систему графически в координатах Oxa. Рассмотрим первое уравнение системы:
⎩⎨⎧[y2−7y+12+4x−xy=0,x+5=0,x+5⩾0,5−x>0;⎩⎨⎧[(y−3)(y−4)−x(y−4)=0,x=−5,x⩾−5,x<5;⎩⎨⎧y=4,y=x+3,x=−5,x⩾−5,x<5.(1) Подставим второе уравнение системы y=a−x в систему (1):
⎩⎨⎧a−x=4,a−x=x+3,x=−5,x⩾−5,x<5.⎩⎨⎧a=x+4,a=2x+3,x=−5,−5⩽x<5. 1) Уравнение a=x+4 задаёт прямую с коэффициентом наклона 1.
2) Уравнение a=2x+3 задаёт прямую с коэффициентом наклона 2.
3) Уравнение x=−5 задаёт вертикальную прямую, параллельную оси Oa. 4) Неравенство −5⩽x<5 задаёт полосу между прямыми x=−5 и x=5, не включая x=5. Найдём точку пересечения a=2x+3 и a=x+4: 2x+3=x+4,x=1. Получаем, что точка пересечения (1;5). Найдём точку пересечения a=2x+3 и x=−5: a=2⋅(−5)+3=−7. Найдём точку пересечения a=2x+3 и x=5: a=2⋅5+3=13. Найдём точку пересечения a=x+4 и x=−5: a=−5+4=−1. Найдём точку пересечения a=x+4 и x=5: a=5+4=9.
Запустим горизонтальную считывающую прямую, количество точек её пересечения с полученным графиком соответствует количеству корней исходного уравнения.
Отметим на графике несколько положений прямой и подпишем количество решений.
Положение I: прямая проходит через точку (−5;−7), то есть a=−7. \textbf{Положение II: прямая проходит через точку (−5;−1), то есть a=−1. \textbf{Положение III: прямая проходит через точку (1;5), то есть a=5.
Положение IV: прямая проходит через точку (5;9), то есть a=9. Положение V: прямая проходит через точку (5;13), то есть a=13. Нам подходит два решения, что соответствует положениям между I и II, положению III и положениям между IV и V, не включая I и V. Значит, a∈(−7;−1]∪{5}∪[9;13). Ответ: a∈(−7;−1]∪{5}∪[9;13).
