Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Ответ:
Решение
Пусть M — середина основания AC. Тогда AM=CM=6. Обозначим BM=h. По симметрии центры обеих окружностей лежат на прямой BM, поэтому OM=8,OB=h+8.
В треугольнике AOB площадь можно найти двумя способами: через основание AB и расстояние от O до прямой AB, равное 8, и через основание OB, высота к которому равна AM=6: 21AB⋅8=21(h+8)⋅6. Так как AB=36+h2, получаем уравнение 836+h2=6(h+8). Отсюда h=7144,AB=7150. Площадь треугольника равна S=7864, а полупериметр равен p=AB+AM=7192. Поэтому r=pS=71927864=29.
