Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (ax2−(a2+16)x+16a)⋅x+5=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Заметим, что x=−5 - корень при любых a. Значит, уравнение ax2−(a2+16)x+16a=0 должно иметь ровно один корень, удовлетворяющий условию x>−5. Мы взяли строгое неравенство x>−5 для того, чтобы исключить совпадение корней.
Рассмотрим уравнение ax2−(a2+16)x+16a=0. При a=0 уравнение примет вид 0−16x+0=0, его корень x=0 удовлетворяет условию x>−5. При a=0 уравнение квадратное, его дискриминант:
D=(a2+16)2−4a⋅16a=a4+32a2+256−64a2=(a2−16)2;x1=2aa2+16−(a2−16)=a16,x2=2aa2+16+a2−16=a. Возможны два случая, которые нам подходят:
1) x1=x2>−5.a16=a,a2=16,a=±4. При a=4,x1=x2=416=4>−5; при a=−4,x1=x2=−416=−4>−5. Значит, a=±4.
2) Только один из корней x1=a16 и x2=a удовлетворяет условию x>−5, а другой нет.
⎩⎨⎧a16>−5,a⩽−5,⎩⎨⎧a>−5,a16⩽−5;⇔⎩⎨⎧a16+5a>0,a⩽−5,(1)⎩⎨⎧a>−5,a16+5a⩽0;(2) (1)
a∈(−∞;−5]. (2)
a∈[−516;0). Получим решение совокупности: a∈(−∞;−5]∪[−516;0).
Объединим все найденные решения: a∈(−∞;−5]∪[−516;0]∪{±4}.
