Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

100 параметров 2026Шестаков

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(ax^2-(a^2+16)x+16a)\cdot \sqrt{x+5}=0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Заметим, что

x=-5

- корень при любых

a

.
Значит, уравнение

ax^2 - (a^2+16)x + 16a = 0

должно иметь ровно один корень, удовлетворяющий условию

x > -5

.
Мы взяли строгое неравенство

x > -5

для того, чтобы исключить совпадение корней.

Рассмотрим уравнение

ax^2 - (a^2+16)x + 16a = 0

.
При

a=0

уравнение примет вид

0 - 16x + 0 = 0

, его корень

x=0

удовлетворяет условию

x > -5

.
При

a \neq 0

уравнение квадратное, его дискриминант:

D = (a^2+16)^2 - 4a \cdot 16a = a^4 + 32a^2 + 256 - 64a^2 = (a^2-16)^2;\\[0.5em] \quad x_1 = \frac{a^2+16-(a^2-16)}{2a} = \frac{16}{a}, \quad x_2 = \frac{a^2+16+a^2-16}{2a} = a.

Возможны два случая, которые нам подходят:
1)

x_1 = x_2 > -5

\dfrac{16}{a} = a, \ a^2 = 16, \ a = \pm 4

.
При

a = 4

x_1 = x_2 = \dfrac{16}{4} = 4 > -5

; при

a = -4

x_1 = x_2 = \dfrac{16}{-4} = -4 > -5

.
Значит,

a = \pm 4

.

2) Только один из корней

x_1 = \dfrac{16}{a}

x_2 = a

удовлетворяет условию

x > -5

, а другой нет.

\left[\begin{aligned}& \left\{\begin{aligned}& \dfrac{16}{a} > -5, \\& a \leqslant -5,\end{aligned}\right. \\& \left\{\begin{aligned}& a > -5, \\& \dfrac{16}{a} \leqslant -5;\end{aligned}\right.\end{aligned}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left[\begin{aligned}& \left\{\begin{aligned}& \dfrac{16+5a}{a} > 0, \\& a \leqslant -5,\end{aligned}\right. \quad (1)\\& \left\{\begin{aligned}& a > -5, \\& \dfrac{16+5a}{a} \leqslant 0;\end{aligned}\right.\quad(2)\end{aligned}\right.

(1)

a \in (-\infty; -5].

(2)

a \in \left[-\dfrac{16}{5}; 0\right).

Получим решение совокупности:

a \in \left(-\infty; -5\right] \cup \left[-\dfrac{16}{5}; 0\right).

Объединим все найденные решения:

a \in (-\infty; -5] \cup \left[-\dfrac{16}{5}; 0\right] \cup \{ \pm 4 \}

.

Ответ:

(-\infty; -5] \cup \left[-\dfrac{16}{5}; 0\right] \cup \{ \pm 4 \}

Похожие задачи