Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{x^{4}-20x^{2}+64}{(x+4)(x-2)}.

Определите, при каких значениях

c

прямая

y=c

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Функция определена при

x\neq -4

x\neq 2

.

Разложим на множители выражение в числителе функции:

x^{4}-20x^{2}+64=(x^{2}-16)(x^{2}-4)=(x-4)(x+4)(x-2)(x+2).

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

y\mathrel{=}

Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотыми точками.

Для нахождения координат выколотых точек подставим запрещённые абсциссы в формулу

y=x^{2}-2x-8

y(-4)=(-4)^2-2\cdot(-4)-8=16.

y(2)=2^2-2\cdot2-8=-8.

Следовательно, выколотые точки:

(-4; 16)

(2; -8)

.

Для параболы

y=x^{2} - 2 x - 8

имеем

a=1

b=-2

c=-8

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot(1)}=1.

y_0=1\cdot(1)^2-2\cdot(1)-8=-9.

Следовательно, вершина имеет координаты

(1; -9)

.

Таблица значений для

y=x^{2} - 2 x - 8

(с учетом выколотых точек):

График функции:

Прямая

y=c

— горизонтальная прямая. Ровно одна общая точка получается на уровне вершины параболы и на уровнях выколотых точек.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

c \in \{-8\} \cup \{-9\} \cup\{16\}

Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи