Из точки A к окружности с центром~O проведены касательная AM и секущая AC, проходящая через центр и пересекающая окружность
в точке B, причём AB<AC. Найдите величину угла ACM, если ∠MAC=34∘. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
Решение
Проведем радиус OM в точку касания M. По свойству касательной, OM⊥AM, следовательно, ΔOMA --- прямоугольный, ∠OMA=90∘. В прямоугольном треугольнике OMA найдем угол ∠MOA: ∠MOA=90∘−∠MAO=90∘−34∘=56∘. Рассмотрим треугольник OMC. Поскольку OM и OC --- радиусы одной окружности, то OM=OC. Значит, ΔOMC --- равнобедренный, и его углы при основании равны: ∠OCM=∠OMC.
Угол ∠MOA является внешним углом для ΔOMC. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
∠MOA=∠OCM+∠OMC=2∠ACM.56∘=2∠ACM;∠ACM=28∘. Ответ: 28.
