Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{x4+y2=a2,x2+y=∣2a−4∣ имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Сделаем замену t=x2. Тогда система принимает вид:
{t2+y2=a2,(1)y=−t+∣2a−4∣.(2) Первое уравнение в плоскости Oty задаёт окружность с центром в точке O(0;0) и радиусом ∣a∣. Второе уравнение — прямую.
Заметим, что:
1) если t<0, система не имеет решений;
2) если t=0, то x=0 (единственное значение), и тогда из второго уравнения находим одно значение y. Следовательно, такая ситуация даёт не более одного решения исходной системы;
3) если t>0, то каждому такому t соответствуют два значения x=±t. Поэтому если система относительно (t;y) имеет два различных решения, то исходная система будет иметь четыре различных решения.
Таким образом, нам нужно найти все a, при которых система относительно переменных t и y имеет два различных решения, причём в обоих решениях t>0.
Условие того, что прямая пересекает окружность в двух различных точках, выражается неравенством: расстояние от центра окружности O(0;0) до прямой меньше радиуса окружности.
Расстояние от точки (x0;y0) до прямой Ax+By+C=0 вычисляется по формуле:
ρ=A2+B2∣Ax0+By0+C∣. Найдём расстояние от точки O(0;0) до прямой ℓ:t+y−∣2a−4∣=0: ρ(O,ℓ)=12+12∣1⋅0+1⋅0−∣2a−4∣∣=2∣2a−4∣. Прямая и окружность имеют две точки пересечения, если выполнено следующее неравенство:
2∣2a−4∣<∣a∣. Обе части неравенства неотрицательны. Возведём их в квадрат:
2(2a−4)2<a2⇒(2a−4)2<2a2. Раскрываем скобки и упрощаем:
4a2−16a+16<2a2⇒2a2−16a+16<0⇒a2−8a+8<0. Найдём корни квадратного уравнения a2−8a+8=0: a1,2=28±64−32=28±32=28±42=4±22. Значит, неравенство выполняется при a∈(4−22;4+22). Выясним, при каких из данного интервала абсцисса обоих решений системы положительна.
Осталось проверить, что в полученных точках пересечения t>0. Для этого достаточно убедиться, что при найденных a оба корня квадратного уравнения (относительно t) положительны. Сделаем подстановку (2) в (1): t2+(−t+∣2a−4∣)2=a2⇒2t2−2∣2a−4∣t+(2a−4)2−a2=0. Тогда:
t1+t2=∣2a−4∣.t1t2=2(2a−4)2−a2=24a2−16a+16−a2=23a2−16a+16. ∣2a−4∣>0 при a=2.
Решим квадратное уравнение:
3a2−16a+16=0;D=162−4⋅3⋅16=64=82;a1,2=616±8;a1=34,a2=4. Значит, t1t2⩽0 при a∈[34;4], и t1t2>0 при a∈(−∞;34)∪(4;+∞).
Таким образом, исходная система имеет 4 различных решения при a∈(4−22;34)∪(4;4+22).
