Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

{a}

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} x^4+y^2=a^2, \\x^2+y=|2a-4|\end{cases}

имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Сделаем замену

t = x^2

. Тогда система принимает вид:

\begin{cases} t^2 + y^2 = a^2, \quad\quad\quad\quad (1)\\ y = -t + |2a - 4|. \quad\;\;\, (2) \end{cases}

Первое уравнение в плоскости

Oty

задаёт окружность с центром в точке

O(0;0)

и радиусом

|a|

. Второе уравнение — прямую.

Заметим, что:
1) если

t < 0

, система не имеет решений;
2) если

t = 0

, то

x = 0

(единственное значение), и тогда из второго уравнения находим одно значение

y

. Следовательно, такая ситуация даёт не более одного решения исходной системы;
3) если

t > 0

, то каждому такому

t

соответствуют два значения

x = \pm\sqrt{t}

. Поэтому если система относительно

(t; y)

имеет два различных решения, то исходная система будет иметь четыре различных решения.

Таким образом, нам нужно найти все

a

, при которых система относительно переменных

t

y

имеет два различных решения, причём в обоих решениях

t > 0

.

Условие того, что прямая пересекает окружность в двух различных точках, выражается неравенством: расстояние от центра окружности

O(0;0)

до прямой меньше радиуса окружности.

Расстояние от точки

(x_0; y_0)

до прямой

Ax + By + C = 0

вычисляется по формуле:

\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Найдём расстояние от точки

O(0;0)

до прямой

\ell: t + y - |2a - 4| = 0

\rho(O, \ell) = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - |2a - 4|\,|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2a - 4|}{\sqrt{2}}.

Прямая и окружность имеют две точки пересечения, если выполнено следующее неравенство:

\frac{|2a - 4|}{\sqrt{2}} < |a|.

Обе части неравенства неотрицательны. Возведём их в квадрат:

\frac{(2a - 4)^2}{2} < a^2 \quad \Rightarrow \quad (2a - 4)^2 < 2a^2.

Раскрываем скобки и упрощаем:

4a^2 - 16a + 16 < 2a^2 \quad \Rightarrow \quad 2a^2 - 16a + 16 < 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 8a + 8 < 0.

Найдём корни квадратного уравнения

a^2 - 8a + 8 = 0

a_{1, 2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}.

Значит, неравенство выполняется при

a \in (4 - 2\sqrt{2}; 4 + 2\sqrt{2})

. Выясним, при каких из данного интервала абсцисса обоих решений системы положительна.

Осталось проверить, что в полученных точках пересечения

t > 0

. Для этого достаточно убедиться, что при найденных

a

оба корня квадратного уравнения (относительно

t

) положительны. Сделаем подстановку

(2)

(1)

t^2 + (-t + |2a-4|)^2 = a^2 \quad \Rightarrow \quad 2t^2 - 2|2a-4|\,t + (2a-4)^2 - a^2 = 0.

Тогда:

t_1 + t_2 = |2a-4|.\\ t_1 t_2 = \frac{(2a-4)^2 - a^2}{2} = \frac{4a^2 - 16a + 16 - a^2}{2} = \frac{3a^2 - 16a + 16}{2}.

|2a - 4| > 0

при

a\neq 2

.

Решим квадратное уравнение:

3a^2 - 16a + 16 = 0;\\ D = 16^2 - 4\cdot 3\cdot 16 = 64 = 8^2;\\ a_{1, 2} = \dfrac{16\pm 8}{6};\\ a_1 = \dfrac{4}{3},\quad a_2 = 4.

Значит,

t_1t_2\leqslant 0

при

a \in \left[\dfrac{4}{3}; 4\right]

, и

t_1t_2 > 0

при

a \in \left(-\infty; \dfrac{4}{3}\right)\cup (4; +\infty)

.

Таким образом, исходная система имеет

4

различных решения при

a \in \left(4-2\sqrt{2}; \dfrac{4}{3}\right)\cup (4; 4 + 2\sqrt{2})

Ответ:

\left(4-2\sqrt{2}; \dfrac{4}{3}\right)\cup (4; 4 + 2\sqrt{2})

Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи