Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Параметры
ФИПИ
Найдите все значения параметра aaa, при каждом из которых уравнение x4−16x2+64a2=x2+4x−8a\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8ax4−16x2+64a2​=x2+4x−8a имеет ровно 333 решения.

Решение

Уравнение равносильно следующей системе:
{x2+4x−8a⩾0,x4−16x2+64a2=(x2+4x−8a)2.\begin{cases}
x^2 + 4x - 8a \geqslant 0, \\[2mm]
x^4 - 16x^2 + 64a^2 = \left( x^2 + 4x - 8a \right)^2.
\end{cases}⎩⎨⎧​x2+4x−8a⩾0,x4−16x2+64a2=(x2+4x−8a)2.​
Преобразуем второе уравнение системы:
x4−16x2+64a2=x4+8x3+16x2−16ax2−64ax+64a2;8x3+32x2−16ax2−64ax=0;8x2(x+4)−16ax(x+4)=0;8x(x+4)(x−2a)=0.x^4 - 16x^2 + 64a^2 = x^4 + 8x^3 + 16x^2 - 16ax^2 - 64ax + 64a^2;
\\
8x^3 + 32x^2 - 16ax^2 - 64ax = 0;
\\
8x^2(x+4) - 16ax(x+4) = 0;
\\
8x(x+4)(x-2a) = 0.x4−16x2+64a2=x4+8x3+16x2−16ax2−64ax+64a2;8x3+32x2−16ax2−64ax=0;8x2(x+4)−16ax(x+4)=0;8x(x+4)(x−2a)=0.
Получили три корня:
x1=0,x2=−4,x3=2a.x_1 = 0, \quad x_2 = -4, \quad x_3 = 2a.x1​=0,x2​=−4,x3​=2a.
Для каждого корня проверим условие x2+4x−8a⩾0x^2 + 4x-8a \geqslant 0x2+4x−8a⩾0:

1) x=0x=0x=0:
−8a⩾0⇒a⩽0.-8a \geqslant 0 \quad\Rightarrow\quad a \leqslant 0.−8a⩾0⇒a⩽0.
2) x=−4x=-4x=−4:
16−16−8a⩾0⇒a⩽0.16 - 16 - 8a \geqslant 0 \quad\Rightarrow\quad a \leqslant 0.16−16−8a⩾0⇒a⩽0.
3) Для x=2ax = 2ax=2a:
4a2+8a−8a⩾0⇒4a2⩾0⇒a∈R.4a^2 + 8a - 8a \geqslant 0\quad\Rightarrow\quad4a^2 \geqslant 0 \quad\Rightarrow\quad a \in \mathbb{R}.4a2+8a−8a⩾0⇒4a2⩾0⇒a∈R.
Рассмотрим возможные совпадения корней:

1) x=0x=0x=0 и x=2ax=2ax=2a совпадают при a=0a=0a=0;
2) x=−4x=-4x=−4 и x=2ax=2ax=2a совпадают при a=−2a=-2a=−2;
3) x=0x=0x=0 и x=−4x=-4x=−4 не совпадают никогда.

Таким образом, три решения получаем при a<−2a < -2a<−2 и при −2<a<0-2 < a < 0−2<a<0.

Ответ: (−∞;−2)∪(−2;0)(-\infty; -2) \cup (-2; 0)(−∞;−2)∪(−2;0).