Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos 2x} = 63.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ \dfrac{7\pi}{2}; 5\pi \right]

Решение

а) Воспользуемся формулой для косинуса двойного угла и преобразуем уравнение:

8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{1 - 2\sin^2 x} = 63;

8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2\cdot \dfrac{4}{4^{2\sin^2 x}} = 63;

8 \cdot 16^{\sin^2 x} - \dfrac{8}{16^{\sin^2 x}} = 63.

Сделаем замену

t = 4^{2\sin^2 x} > 0

8t - \frac{8}{t} = 63.

Умножим обе части уравнения на

t > 0

8t^2 - 8 = 63t;

8t^2 - 63t - 8 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

\sqrt{D} = \sqrt{63^2 + 4 \cdot 8 \cdot 8} = \sqrt{3969 + 256} = \sqrt{4225} = 65;

t_{1, 2} = \frac{63 \pm 65}{16}.

Получаем:

t_1 = \frac{128}{16} = 8,\quad t_2 = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8} < 0 \text{ -- не подходит}.

Сделаем обратную замену:

4^{2\sin^2 x} = 8;

2^{4\sin^2 x} = 2^3;

4\sin^2 x = 3;

\sin^2 x = \frac{3}{4};

\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\\[3mm] x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{7\pi}{2}; 5\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

\frac{11\pi}{3},\ \frac{13\pi}{3},\ \frac{14\pi}{3}.

Ответ: а)

\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{11\pi}{3},\ \dfrac{13\pi}{3},\ \dfrac{14\pi}{3}

Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи