Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Уравнения
ФИПИ
а) Решите уравнение
8⋅16sin⁡2x−2⋅4cos⁡2x=63.8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos 2x} = 63.8⋅16sin2x−2⋅4cos2x=63.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[7π2;5π]\left[ \dfrac{7\pi}{2}; 5\pi \right][27π​;5π].

Решение

а) Воспользуемся формулой для косинуса двойного угла и преобразуем уравнение:
8⋅16sin⁡2x−2⋅41−2sin⁡2x=63;8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{1 - 2\sin^2 x} = 63;8⋅16sin2x−2⋅41−2sin2x=63;
8⋅16sin⁡2x−2⋅442sin⁡2x=63;8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2\cdot \dfrac{4}{4^{2\sin^2 x}} = 63;8⋅16sin2x−2⋅42sin2x4​=63;
8⋅16sin⁡2x−816sin⁡2x=63.8 \cdot 16^{\sin^2 x} - \dfrac{8}{16^{\sin^2 x}} = 63.8⋅16sin2x−16sin2x8​=63.


Сделаем замену t=42sin⁡2x>0t = 4^{2\sin^2 x} > 0t=42sin2x>0:
8t−8t=63.8t - \frac{8}{t} = 63.8t−t8​=63.
Умножим обе части уравнения на t>0t > 0t>0:
8t2−8=63t;8t^2 - 8 = 63t;8t2−8=63t;
8t2−63t−8=0.8t^2 - 63t - 8 = 0.8t2−63t−8=0.
Решим полученное квадратное уравнение:
D=632+4⋅8⋅8=3969+256=4225=65;\sqrt{D} = \sqrt{63^2 + 4 \cdot 8 \cdot 8} = \sqrt{3969 + 256} = \sqrt{4225} = 65;D​=632+4⋅8⋅8​=3969+256​=4225​=65;
t1,2=63±6516.t_{1, 2} = \frac{63 \pm 65}{16}.t1,2​=1663±65​.
Получаем:
t1=12816=8,t2=−216=−18<0 – не подходит.t_1 = \frac{128}{16} = 8,\quad t_2 = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8} < 0 \text{ -- не подходит}.t1​=16128​=8,t2​=16−2​=−81​<0 – не подходит.
Сделаем обратную замену:
42sin⁡2x=8;4^{2\sin^2 x} = 8;42sin2x=8;
24sin⁡2x=23;2^{4\sin^2 x} = 2^3;24sin2x=23;
4sin⁡2x=3;4\sin^2 x = 3;4sin2x=3;
sin⁡2x=34;\sin^2 x = \frac{3}{4};sin2x=43​;
sin⁡x=±32.\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.sinx=±23​​.
Получаем:
[x=±π3+2πk,x=±2π3+2πk, k∈Z.\left[
\begin{array}{l}
x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\\[3mm]
x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.
\end{array}
\right.​x=±3π​+2πk,x=±32π​+2πk, k∈Z.​

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [7π2;5π]\left[\dfrac{7\pi}{2}; 5\pi\right][27π​;5π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Изображение 1

На отрезок попали следующие корни:
11π3, 13π3, 14π3.\frac{11\pi}{3},\ \frac{13\pi}{3},\ \frac{14\pi}{3}.311π​, 313π​, 314π​.

Ответ: а) ±π3+2πk, ±2π3+2πk, k∈Z\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}±3π​+2πk, ±32π​+2πk, k∈Z; б) 11π3, 13π3, 14π3\dfrac{11\pi}{3},\ \dfrac{13\pi}{3},\ \dfrac{14\pi}{3}311π​, 313π​, 314π​.