Решите неравенство 15^x - 3^x+1 - 5^x+1 +… — Неравенства — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Неравенства

ФИПИ

Решите неравенство

\frac{15^x - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15}{-x^2 + 2x} \geqslant 0.

Решение

Преобразуем числитель:

15^x - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15 = 3^x\cdot 5^x - 3\cdot 3^x - 5\cdot 5^x + 15 = 5^x(3^x - 5) - 3(3^x - 5) =

= (3^x - 5)(5^x - 3).

Неравенство принимает следующий вид:

\frac{(3^x - 5)(5^x - 3)}{x(2 - x)} \geqslant 0;

\frac{(3^x - 3^{\log_{3}{5}})(5^x - 5^{\log_{5}{3}})}{x(2 - x)} \geqslant 0.

Воспользуемся методом рационализации. Так как

3 > 1

5 > 1

, то получаем:

\dfrac{(x - \log_{3}{5})\cdot (x - \log_{5}{3})}{x(2 - x)} \geqslant 0.

Воспользуемся методом интервалов для решения полученного неравенства:

$Изображение 1$

x \in (0; \log_5 3] \cup [\log_3 5; 2).

Ответ:

(0;\log_5 3] \cup [\log_3 5;2)