Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(5x+∣2x−a∣−∣3x∣)2−(a+2)(5x+∣2x−a∣−∣3x∣)+1=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Пусть 5x+∣2x−a∣−∣3x∣=t, тогда уравнение примет вид
t2−(a+2)t+1=0. Проанализируем замену. Раскроем модули по определению, для этого воспользуемся числовой прямой. Нули модулей: x=2a и x=0. Рассмотрим случай 2a>0, то есть a>0.
1) x⩽0: t=5x−2x+a+3x=6x+a. 2) 0<x<2a: t=5x−2x+a−3x=a. 3) x⩾2a: t=5x+2x−a−3x=4x−a. В системе Oxt при a>0 построим график функции t=5x+∣2x−a∣−∣3x∣:
Рассмотрим случай a=0.
1) x≥0:t=5x+2x−3x=4x; 2) x<0:t=5x−2x+3x=6x;
Рассмотрим случай 2a<0, то есть a<0.
1) x⩽2a: t=5x−2x+a+3x=6x+a; t(2a)=26a+a=4a. 2) 2a<x<0: t=5x+2x−a+3x=10x−a; t(0)=10⋅0−a=−a. 3) x⩾0: t=5x+2x−a−3x=4x−a. В системе Oxt при a<0 построим график функции t=5x+∣2x−a∣−∣3x∣:
Таким образом, при a≤0 функция возрастает при всех значениях x и каждому значению t соответствует единственное значение x. При a>0 функция возрастает на промежутке (−∞;0)∪(a;+∞), а на промежутке [0;a] принимает постоянное значение t=a, тогда каждому значению t, кроме t=a, соответствует одно значение x. Пусть f(t)=t2−(a+2)t+1, графиком является парабола с ветвями вверх. Для того, чтобы исходное уравнение имело два решения, уравнение f(t)=0 при a>0 должно иметь два корня (D>0), отличных от a, а при a⩽0 должно иметь два корня.
Рассмотрим случай a>0 и учтём, что t=a: ⎩⎨⎧a>0,(a+2)2−4>0,a2−a(a+2)+1=0;⎩⎨⎧a>0,(a+2−2)(a+2+2)>0−2a+1=0;⎩⎨⎧a>0,a(a+4)>0a=21;
a∈(0;21)∪(21;+∞). Рассмотрим случай a⩽0: {a⩽0,(a+2)2−4>0;{a⩽0,(a+2−2)(a+2+2)>0;{a⩽0,a(a+4)>0;
a∈(−∞;−4). Объединяя все случаи, получаем, что a∈(−∞;−4)∪(0;21)∪(21;+∞).
