Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2025 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(5x + |2x - a| - |3x|)^2 - (a + 2)(5x + |2x - a| - |3x|) + 1 = 0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Пусть

5x + |2x - a| - |3x|=t

, тогда уравнение примет вид

t^2-(a+2)t+1=0

.
Проанализируем замену. Раскроем модули по определению, для этого воспользуемся числовой прямой. Нули модулей:

x=\dfrac{a}{2}

x=0

.
Рассмотрим случай

\dfrac{a}{2}>0

, то есть

a>0

$Изображение 1$

x \leqslant 0

t = 5x-2x+a+3x=6x+a.

0 < x < \dfrac{a}{2}

t = 5x-2x+a-3x=a.

x \geqslant \dfrac{a}{2}

t = 5x+2x-a-3x=4x-a.

В системе

Oxt

при

a>0

построим график функции

t = 5x + |2x - a| - |3x|

$Изображение 2$

Рассмотрим случай

a=0

.

1)

x\ge0

t=5x+2x-3x=4x;

x<0

t=5x-2x+3x=6x;

$Изображение 3$

Рассмотрим случай

\dfrac{a}{2}<0

, то есть

a<0

$Изображение 4$

x \leqslant \dfrac{a}{2}

t = 5x-2x+a+3x=6x+a;

t\left(\dfrac{a}{2}\right) = \dfrac{6a}{2}+a=4a.

\dfrac{a}{2} < x < 0

t = 5x+2x-a+3x=10x-a;

t(0) = 10\cdot0-a=-a.

x \geqslant 0

t = 5x+2x-a-3x=4x-a.

В системе

Oxt

при

a<0

построим график функции

t = 5x + |2x - a| - |3x|

$Изображение 5$

Таким образом, при

a\le0

функция возрастает при всех значениях

x

и каждому значению

t

соответствует единственное значение

x

. При

a>0

функция возрастает на промежутке

(-\infty; 0) \cup (a; +\infty)

, а на промежутке

[0;a]

принимает постоянное значение

t=a

, тогда каждому значению

t

, кроме

t=a

, соответствует одно значение

x

.
Пусть

f(t)=t^2-(a+2)t+1

, графиком является парабола с ветвями вверх. Для того, чтобы исходное уравнение имело два решения, уравнение

f(t)=0

при

a>0

должно иметь два корня (

D>0)

, отличных от

a

, а при

a \leqslant 0

должно иметь два корня.
Рассмотрим случай

a>0

и учтём, что

t\neq a

\begin{cases} a>0, \\ (a+2)^2-4>0, \\ a^2-a(a+2)+1\neq 0;\end{cases} \quad \begin{cases} a>0, \\ (a+2-2)(a+2+2)>0\\ -2a+1\neq 0; \end{cases} \quad\begin{cases} a>0, \\ a(a+4)>0\\ a\neq \dfrac{1}{2}; \end{cases}

$Изображение 6$

$Изображение 7$

$Изображение 8$

a\in \left(0; \dfrac{1}{2}\right) \cup \left (\dfrac{1}{2}; +\infty\right).

Рассмотрим случай

a\leqslant0

\begin{cases} a\leqslant0, \\ (a+2)^2-4>0;\end{cases} \quad \begin{cases} a\leqslant0, \\ (a+2-2)(a+2+2)>0;\end{cases} \quad\begin{cases} a\leqslant0, \\ a(a+4)>0;\end{cases}

$Изображение 9$

$Изображение 10$

a\in (-\infty; -4).

Объединяя все случаи, получаем, что

a\in \left(-\infty;-4\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right)\cup \left(\dfrac{1}{2}; +\infty\right)

.

Ответ:

a\in \left(-\infty;-4\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right)\cup \left(\dfrac{1}{2}; +\infty\right)

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи